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摘 要：概率为当前高考的必考内容，很多学生在此类题上丢分较多，碰到此类问题感觉无从下手。为帮助学生更好地掌握概率知识，本文以古典概型为例，对概率问题的解题技巧进行了实例分析。
关键词：高中数学；概率；解题技巧
概率为当前高考的必考内容。但是在概率学习中，学生成绩两极分化现象严重。
一、古典概型介绍
古典概型涉及的问题主要是对有限样本进行概率求取，且实验过程中，每个事件结果发生的可能性都是相等的。也就是说，古典概型中要求取一个随机事件发生的概率，解题中只需要确定随机事件可能出现的所有基本事件的结果总数，再将基本事件A在总数中所占有的分数标记出来就可以了，如将总结果数标记为n；将A事件发生的结果数标记为m，则A事件发生的概率可以表示为：
如果样本空间内基本事件总数能确定是有限个数的话，此类概率问题就一定属于古典概型。通常来讲，下列类似说法的都为古典概型：①两颗骰子质地均匀，同时抛掷……；②盒子内有若干相同小球，其中白球4个，黑球5个，从盒子内任意取两个球……；③在八位数电话号码（首位不为0）中，任意选取一个……。对上面说法进行分析可以看出，无论题目在语句上怎样复杂，在有限个事件下均能够完成实验。因此，此类的概率题目都是可以利用古典概型来进行解答的。
二、古典概型解题技巧及实践应用
古典概型在解题方法上主要有四种方法，分别为列举法、列表法、树图法和排除法。
1.列举法
概率问题解题中，如果题目能够满足一定条件就可以通过列举法来求概率。一次实验过程中，总结果数n如果为有限个，且各种结果存在相等可能性，也就是说A事件的发生概率是：，此式中，n表示总结果数；m表示A事件发生的结果数。由此可以判断：（1）总结果数n是为有限个；（2）各种结果存在相等可能性。这两个条件为列举法应用的必要条件。
例1 一枚骰子质地均匀，投掷过程中，问点3出现的概率？
分析：一枚骰子的面数有6面，分别对应1、2、3、4、5、6这6个数字，因此在投掷过程中，可能出现的情况有6种。
解：
2.列表法
例1中变量只有一个，且总结果数比较小，因此可以用列举法求解。但如果实验过程中存在两个或者更多变量，且结果数较多的时候，就需要用列表法或者树状图法来解答了。
例2 十个完全相同的小球，分别标以1～10这十个数字，将这十个小球放到一个盒子里。盒子摇匀后，从盒子中随机抽取两个球，如果抽取到的小球不再放回，则抽取到的小球上的数字是相邻整数的概率是多少？
通过上表可以看出，此题中基本事件总数是90种，而A事件中所包含的基本事件在总数上为18种，因此可以得到：
例3 同时投掷两枚质地均匀的骰子，投掷过程中，两个骰子点数的和是5的概率为多少？
分析：此题中骰子有两枚，变化结果复杂，如果采用列举法很容易遗漏或者重复，因此采用列表法会更清晰。
从上面表格能看出：两枚骰子同时投掷，可能出现的基本事件总数是36种，这些结果出现的可能性是相等的。而将“两个骰子点数的和是5”记作是事件A，事件A的结果有4种，分别为（1，4）、（4，1）、（2，3）、（3，2），因此P（A）=4/36=1/9。
3.数图法
例4 （2014·新疆）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①、②、③、④。随机摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号相同的概率是多少？
分析：这道题所考查的就是数图法或者是列表法对概率的求取。这两种方法所得到的事件结果数不会出现重复或者遗漏的情况。解题过程中，对于两步可以完成的事件可以利用列表法来求解，而对于两步或者两步以上才可以完成的事件，则要通过数图法来进行求取。解题知识点为：概率=所求情况数/基本事件总数。
解：此题可画出如下树状图：
4.排除法
例5 甲、乙两人参加数学竞赛，题目共10道，6道为选择题，4道为判断题，甲、乙两人依次各抽一题。问甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率是多少？
分析：将上述十道题依次编号，选择题为p1，p2，p3，p4，p5，p6；判断题为x1，x2， x3，x4。如果考虑顺序的话，根据数图法能够获得的基本事件总数为90种。将“甲抽到选择题，乙抽到判断题”这一事件记作是事件A，则事件A总数是24；如果不考虑顺序的话，基本事件总数是45种，事件A总数是12。
此题如果从正面入手，需要分三種情况考虑：甲抽到选择题，乙抽到选择题，甲、乙均抽到选择题。但是如从对立事件来分析的话，则只有甲、乙均抽到判断题这一种情况，这样分析起来就简单多了。
解：
将甲、乙均抽到判断题记作是事件B，则：
则甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率为：
点拨：所谓正难则反，概率问题如果从正面解答比较困难的话，可从反面将对立面事件概率求出，通过排除法进行解答。概率问题中如存在“至多”“至少”这样的字眼，则可以用排除法。
学好概率问题能够帮助我们解决生活中很多实际问题。鉴于文章篇幅限制，本文主要对古典概型的解题方法及技巧进行了分析，解题过程中学生需要对这些方法全面掌握，融会贯通，这样才能真正理解概率问题。
参考文献：
[1]杨宗华.高中数学“概率与统计”的教学方法及策略研究[J].新课程学习（中），2015（3）.
[2]郑兰.高中数学趣味概率与古典概型的探究[J].中学生数理化（学研版），2015（1）.
[3]葛雯雯.学以致用 论概率统计在生活实践中的应用[J].理科考试研究（高中版），2016， 23（3）.
关键词：高中数学；概率；解题技巧
概率为当前高考的必考内容。但是在概率学习中，学生成绩两极分化现象严重。
一、古典概型介绍
古典概型涉及的问题主要是对有限样本进行概率求取，且实验过程中，每个事件结果发生的可能性都是相等的。也就是说，古典概型中要求取一个随机事件发生的概率，解题中只需要确定随机事件可能出现的所有基本事件的结果总数，再将基本事件A在总数中所占有的分数标记出来就可以了，如将总结果数标记为n；将A事件发生的结果数标记为m，则A事件发生的概率可以表示为：
如果样本空间内基本事件总数能确定是有限个数的话，此类概率问题就一定属于古典概型。通常来讲，下列类似说法的都为古典概型：①两颗骰子质地均匀，同时抛掷……；②盒子内有若干相同小球，其中白球4个，黑球5个，从盒子内任意取两个球……；③在八位数电话号码（首位不为0）中，任意选取一个……。对上面说法进行分析可以看出，无论题目在语句上怎样复杂，在有限个事件下均能够完成实验。因此，此类的概率题目都是可以利用古典概型来进行解答的。
二、古典概型解题技巧及实践应用
古典概型在解题方法上主要有四种方法，分别为列举法、列表法、树图法和排除法。
1.列举法
概率问题解题中，如果题目能够满足一定条件就可以通过列举法来求概率。一次实验过程中，总结果数n如果为有限个，且各种结果存在相等可能性，也就是说A事件的发生概率是：，此式中，n表示总结果数；m表示A事件发生的结果数。由此可以判断：（1）总结果数n是为有限个；（2）各种结果存在相等可能性。这两个条件为列举法应用的必要条件。
例1 一枚骰子质地均匀，投掷过程中，问点3出现的概率？
分析：一枚骰子的面数有6面，分别对应1、2、3、4、5、6这6个数字，因此在投掷过程中，可能出现的情况有6种。
解：
2.列表法
例1中变量只有一个，且总结果数比较小，因此可以用列举法求解。但如果实验过程中存在两个或者更多变量，且结果数较多的时候，就需要用列表法或者树状图法来解答了。
例2 十个完全相同的小球，分别标以1～10这十个数字，将这十个小球放到一个盒子里。盒子摇匀后，从盒子中随机抽取两个球，如果抽取到的小球不再放回，则抽取到的小球上的数字是相邻整数的概率是多少？
通过上表可以看出，此题中基本事件总数是90种，而A事件中所包含的基本事件在总数上为18种，因此可以得到：
例3 同时投掷两枚质地均匀的骰子，投掷过程中，两个骰子点数的和是5的概率为多少？
分析：此题中骰子有两枚，变化结果复杂，如果采用列举法很容易遗漏或者重复，因此采用列表法会更清晰。
从上面表格能看出：两枚骰子同时投掷，可能出现的基本事件总数是36种，这些结果出现的可能性是相等的。而将“两个骰子点数的和是5”记作是事件A，事件A的结果有4种，分别为（1，4）、（4，1）、（2，3）、（3，2），因此P（A）=4/36=1/9。
3.数图法
例4 （2014·新疆）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①、②、③、④。随机摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号相同的概率是多少？
分析：这道题所考查的就是数图法或者是列表法对概率的求取。这两种方法所得到的事件结果数不会出现重复或者遗漏的情况。解题过程中，对于两步可以完成的事件可以利用列表法来求解，而对于两步或者两步以上才可以完成的事件，则要通过数图法来进行求取。解题知识点为：概率=所求情况数/基本事件总数。
解：此题可画出如下树状图：
4.排除法
例5 甲、乙两人参加数学竞赛，题目共10道，6道为选择题，4道为判断题，甲、乙两人依次各抽一题。问甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率是多少？
分析：将上述十道题依次编号，选择题为p1，p2，p3，p4，p5，p6；判断题为x1，x2， x3，x4。如果考虑顺序的话，根据数图法能够获得的基本事件总数为90种。将“甲抽到选择题，乙抽到判断题”这一事件记作是事件A，则事件A总数是24；如果不考虑顺序的话，基本事件总数是45种，事件A总数是12。
此题如果从正面入手，需要分三種情况考虑：甲抽到选择题，乙抽到选择题，甲、乙均抽到选择题。但是如从对立事件来分析的话，则只有甲、乙均抽到判断题这一种情况，这样分析起来就简单多了。
解：
将甲、乙均抽到判断题记作是事件B，则：
则甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率为：
点拨：所谓正难则反，概率问题如果从正面解答比较困难的话，可从反面将对立面事件概率求出，通过排除法进行解答。概率问题中如存在“至多”“至少”这样的字眼，则可以用排除法。
学好概率问题能够帮助我们解决生活中很多实际问题。鉴于文章篇幅限制，本文主要对古典概型的解题方法及技巧进行了分析，解题过程中学生需要对这些方法全面掌握，融会贯通，这样才能真正理解概率问题。
参考文献：
[1]杨宗华.高中数学“概率与统计”的教学方法及策略研究[J].新课程学习（中），2015（3）.
[2]郑兰.高中数学趣味概率与古典概型的探究[J].中学生数理化（学研版），2015（1）.
[3]葛雯雯.学以致用 论概率统计在生活实践中的应用[J].理科考试研究（高中版），2016， 23（3）.