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[摘 要]在数学教学中，如何对图形变化规律展开深度挖掘，帮助学生顺利转换学习思维，已经成为教师需要重点考量的问题。深究图形、甄辨本质、激活思维，这是教学“圆的面积公式推导”的基本操作思路。
[关键词]图形变化；思维构建；小学数学
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）35-0030-02
“空间与图形”是小学数学教学中一项重要的内容。它要求教师在教学时拓展学生思维的宽度，引导学生研究和挖掘图形的本质，感知空间与图形的文化价值，提升学生学习的动力。以“圆的面积公式推导”学习活动中图形的变换为例，谈谈如何活用图形变式，启发和诱导学生科学掌握与圆相关联的知识，凸显圆的不同形式对学生认知建构的促进作用，让数学课堂呈现情趣与智慧交相辉映的盛景。
一、深究图形，引发思考
传统的“圆的面积公式推导”的教学模式，主要是指导学生先把一个圆形纸片平均分成16等份或32等份，剪开后再拼一拼、比一比、理一理（厘清面积的变化关系、图形的变化、边的变化等）、算一算、议一议，最后通过评析、归纳，形成统一的认识，得到圆的面积计算公式。整个过程学生看似学习热情很高，都在积极地实践着、思考着、探讨着，但始终让人有一种不够充实的感觉。静心沉思，方觉在做、看、比、说等环节中，图形解析深度不够，联系把握不透，导致人云亦云的现象发生，也导致后续变式训练中学生对知识理解不透以及把握不准。对此，我将该内容的教学进行了新的实践操作。
首先，指导学生平均分。通过问题“怎样才能把整个圆平均分成相等的几份？”的引领，让学生带着目的去尝试，学生会自然地联想到折纸的方式，轻松地把圆对折，平均分成2份；进而扩展到“再对折”的场景，让学生明白每一次的对折，都是把圆再一次的平均分；最后展示折纸的痕迹，让学生明白怎样做才能实现平均分的道理。其次，指导学生组拼图形。让学生自己去组拼，目的是开阔学生的视野，让学生有更多的体验与感知的机会，也让学生意识到学习不只是单一的路径，只要善于思考、敢于思考，就一定会有所突破。再次，引领学生比较。“你认为哪种图形更容易研究？”“主要的优势是什么？”等问题，能引发学生积极的思考。最后，引导解读。画图是策略，是技能，而蕴含其中的最重要的却是引领学生读懂图，从而明晰关系，把握本质。为此，教师只有多方引领，科学指导，才能使学生明白图形的内涵，为新知学习奠基，为新知建构积累。
【教学片段1】
师：长方形是我们最早学习的图形，所以我们就先解析长方形的构造吧！从图1中你能找到什么有价值的信息？
图1
生1：长方形的面积等于圆的面积。
生2：长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。
生3：圆的周长是2πr，它的一半就是πr，所以拼成的长方形的长是πr，宽是r，面积=πr×r=πr2。
师：再仔细琢磨一下，弄清生3算法的理由。
（学生再次利用手中的图形去思考和研究圆的面积公式推导过程）
师：刚才我们选用了最熟悉的长方形来研究，如果是平行四边形呢？你会研究它吗？
生4：实质是一样的。平行四边形的底也是圆周长的一半，就是πr，作出它的高，發现对应的是圆的半径r，用“底×高”，就是πr×r=πr2。
师：你们认为生4的分析有道理吗？结合图形相互说一说。
师：有同学剪拼后得到三角形，那它的面积又是怎样的呢？
生5：拼的过程中，既没有多一份，也没有少一份，所以三角形的面积一定就是圆的面积。
师：图2的近似图形是什么？底是什么？高是什么？
（学生结合图1解读图2，从而明白三角形的面积与圆的面积之间的联系，把握其对应的关系）
生6：把圆平均分成16等份，拼成了三角形（如图2），它的底是4份小圆弧，也就是圆周长的四分之一，即2πr÷4，高是4个半径，就是4r，三角形的面积=底×高÷2=（2πr÷4）×（4r）÷2=πr2。
让学生动起来，让学生解读每一个图形，学生不仅看到图形的变换关系，也把握了边的变化，学习变得自然流畅，学习的效率得到提高。
二、变换图形，甄别本质
面对学生对图形的解读和思考，我所想的是：“学生的理解深刻吗？”“能否科学运用呢？”为此，我曾设计了一道习题检测学生的掌握情况，结果令人大跌眼镜。学生听得懂，说得出，但真正用的时候却不知所措。
习题：图3中的圆的面积和平行四边形的面积相等，平行四边形的底是12.56厘米。圆的面积是多少平方厘米？
出示题目后，让学生自主研究和思考后再解答。结果全班42个学生，除了18人能够动笔解题，其余的则不知从何入手。就在这18个动笔解题的学生中，能够有条理地分析并解答的仅有10人。我询问了那些不知从何入手的学生，他们一致认为：缺少条件，根本就不好做。在能够动笔但解题不完整的8个学生中，有的把12.56厘米理解成圆的周长，有的把12.56÷2看成是平行四边形的底……为此，我组织了新一轮的图形解读训练，让学生学会反向思考，学会转换思维，使学习充满挑战、充满情趣。
【教学片段2】
师：通过读题、看图，你知道了什么？
生1：圆和平行四边形的面积相等。
生2：我感觉到这两个图和例题中的图很相似。
师：是吗？那能把平行四边形变回圆吗？试试看。
师：你们的结论是什么？
生3：可以把平行四边形变回圆，这和例题的转化过程刚好相反。
生4：这个题目很简单。平行四边形的底是πr，高是r。底是12.56厘米，就是πr=12.56，r=4，所以面积是12.56×4=50.24（平方厘米）。（如图4） 师：为什么用12.56×4呢？
生5：圆的面积和平行四边形的面积相等，平行四边形的面积等于底乘高，所以就用12.56×4来计算。
生6：可以先算出半径，再用圆的面积公式来计算的。
……
师：如果没有这组特定的图形，只有圆的面积等于平行四边形的面积，还能判定平行四边形的底是圆的周长的一半吗？高还是圆的半径吗？
生7：不一定。
学生听得懂，但却不会做，这是很多教师的苦恼所在。究其原因，一是学生对概念本质的解读不深刻，只停留在知识的表面，没有深入到知识的内核；二是学生就图说图，看似看得懂，实质是不知所以然。为此，教师要多提供图形变换的形式，让学生在接受不同的感知冲击时，能够积累经验，使认知变得厚实，使储备变得丰厚。
三、用活图形，提升思维
图形不仅是解题的助手，更是促进思考的拐杖，用活图形，因势利导，能改善学习状态，激发思维活力，让数学学习活动变得富有情趣。为此，在具体的教學活动中，教师要善于利用图形，渗透不同的解题策略，促进学生感悟相应的数学思想方法。
【教学片段3】
师：如图4，已知圆的面积和长方形的面积相等，阴影部分的面积是15平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？
生1：长方形的宽是圆的半径，长是圆周长的一半。
生2：阴影部分的面积是15平方厘米。
生3：因为圆的面积和长方形的面积相等，如图6，所以红色部分的面积和蓝色部分的面积是相等的。这样红色部分的面积就是圆的面积的3/4。
师：你的发现很了不起！能说得具体一点吗？
生4：圆和长方形同时挖掉一个1/4圆，剩下的3/4圆和阴影部分的面积相等。
师：大家听得懂吗？结合图形找出最基本的关系，试着独立完成题目。
生5：15÷3×4=20（平方厘米）。
看似同样的图形，但思考的着力点却迥然不同。为此，引领学生科学解读习题、把握问题本质就显得尤为重要。合作研究能使学生摆脱定式思维，学会换个角度去解析问题，找到图形之间的根本性联系。学生精彩的发言说明了学生完全有能力理解图形转化的策略，只要教师在教学中有机渗透，引领学生精准解读图形，充分相信学生的认知、技能与经验储备，学生的思维一定会得到锻炼和发展。
挖掘图形中的有效资源，能够提升教学的含金量，也能促使学生调动所有的资源去探索、去研究，使学习演变为一种享受，一种快乐的体验。教师要做源头活水的开掘者，挖掘教材，活用教材，使教材成为奔涌无穷智慧的源泉。
（责编 童 夏）
[关键词]图形变化；思维构建；小学数学
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）35-0030-02
“空间与图形”是小学数学教学中一项重要的内容。它要求教师在教学时拓展学生思维的宽度，引导学生研究和挖掘图形的本质，感知空间与图形的文化价值，提升学生学习的动力。以“圆的面积公式推导”学习活动中图形的变换为例，谈谈如何活用图形变式，启发和诱导学生科学掌握与圆相关联的知识，凸显圆的不同形式对学生认知建构的促进作用，让数学课堂呈现情趣与智慧交相辉映的盛景。
一、深究图形，引发思考
传统的“圆的面积公式推导”的教学模式，主要是指导学生先把一个圆形纸片平均分成16等份或32等份，剪开后再拼一拼、比一比、理一理（厘清面积的变化关系、图形的变化、边的变化等）、算一算、议一议，最后通过评析、归纳，形成统一的认识，得到圆的面积计算公式。整个过程学生看似学习热情很高，都在积极地实践着、思考着、探讨着，但始终让人有一种不够充实的感觉。静心沉思，方觉在做、看、比、说等环节中，图形解析深度不够，联系把握不透，导致人云亦云的现象发生，也导致后续变式训练中学生对知识理解不透以及把握不准。对此，我将该内容的教学进行了新的实践操作。
首先，指导学生平均分。通过问题“怎样才能把整个圆平均分成相等的几份？”的引领，让学生带着目的去尝试，学生会自然地联想到折纸的方式，轻松地把圆对折，平均分成2份；进而扩展到“再对折”的场景，让学生明白每一次的对折，都是把圆再一次的平均分；最后展示折纸的痕迹，让学生明白怎样做才能实现平均分的道理。其次，指导学生组拼图形。让学生自己去组拼，目的是开阔学生的视野，让学生有更多的体验与感知的机会，也让学生意识到学习不只是单一的路径，只要善于思考、敢于思考，就一定会有所突破。再次，引领学生比较。“你认为哪种图形更容易研究？”“主要的优势是什么？”等问题，能引发学生积极的思考。最后，引导解读。画图是策略，是技能，而蕴含其中的最重要的却是引领学生读懂图，从而明晰关系，把握本质。为此，教师只有多方引领，科学指导，才能使学生明白图形的内涵，为新知学习奠基，为新知建构积累。
【教学片段1】
师：长方形是我们最早学习的图形，所以我们就先解析长方形的构造吧！从图1中你能找到什么有价值的信息？
图1
生1：长方形的面积等于圆的面积。
生2：长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。
生3：圆的周长是2πr，它的一半就是πr，所以拼成的长方形的长是πr，宽是r，面积=πr×r=πr2。
师：再仔细琢磨一下，弄清生3算法的理由。
（学生再次利用手中的图形去思考和研究圆的面积公式推导过程）
师：刚才我们选用了最熟悉的长方形来研究，如果是平行四边形呢？你会研究它吗？
生4：实质是一样的。平行四边形的底也是圆周长的一半，就是πr，作出它的高，發现对应的是圆的半径r，用“底×高”，就是πr×r=πr2。
师：你们认为生4的分析有道理吗？结合图形相互说一说。
师：有同学剪拼后得到三角形，那它的面积又是怎样的呢？
生5：拼的过程中，既没有多一份，也没有少一份，所以三角形的面积一定就是圆的面积。
师：图2的近似图形是什么？底是什么？高是什么？
（学生结合图1解读图2，从而明白三角形的面积与圆的面积之间的联系，把握其对应的关系）
生6：把圆平均分成16等份，拼成了三角形（如图2），它的底是4份小圆弧，也就是圆周长的四分之一，即2πr÷4，高是4个半径，就是4r，三角形的面积=底×高÷2=（2πr÷4）×（4r）÷2=πr2。
让学生动起来，让学生解读每一个图形，学生不仅看到图形的变换关系，也把握了边的变化，学习变得自然流畅，学习的效率得到提高。
二、变换图形，甄别本质
面对学生对图形的解读和思考，我所想的是：“学生的理解深刻吗？”“能否科学运用呢？”为此，我曾设计了一道习题检测学生的掌握情况，结果令人大跌眼镜。学生听得懂，说得出，但真正用的时候却不知所措。
习题：图3中的圆的面积和平行四边形的面积相等，平行四边形的底是12.56厘米。圆的面积是多少平方厘米？
出示题目后，让学生自主研究和思考后再解答。结果全班42个学生，除了18人能够动笔解题，其余的则不知从何入手。就在这18个动笔解题的学生中，能够有条理地分析并解答的仅有10人。我询问了那些不知从何入手的学生，他们一致认为：缺少条件，根本就不好做。在能够动笔但解题不完整的8个学生中，有的把12.56厘米理解成圆的周长，有的把12.56÷2看成是平行四边形的底……为此，我组织了新一轮的图形解读训练，让学生学会反向思考，学会转换思维，使学习充满挑战、充满情趣。
【教学片段2】
师：通过读题、看图，你知道了什么？
生1：圆和平行四边形的面积相等。
生2：我感觉到这两个图和例题中的图很相似。
师：是吗？那能把平行四边形变回圆吗？试试看。
师：你们的结论是什么？
生3：可以把平行四边形变回圆，这和例题的转化过程刚好相反。
生4：这个题目很简单。平行四边形的底是πr，高是r。底是12.56厘米，就是πr=12.56，r=4，所以面积是12.56×4=50.24（平方厘米）。（如图4） 师：为什么用12.56×4呢？
生5：圆的面积和平行四边形的面积相等，平行四边形的面积等于底乘高，所以就用12.56×4来计算。
生6：可以先算出半径，再用圆的面积公式来计算的。
……
师：如果没有这组特定的图形，只有圆的面积等于平行四边形的面积，还能判定平行四边形的底是圆的周长的一半吗？高还是圆的半径吗？
生7：不一定。
学生听得懂，但却不会做，这是很多教师的苦恼所在。究其原因，一是学生对概念本质的解读不深刻，只停留在知识的表面，没有深入到知识的内核；二是学生就图说图，看似看得懂，实质是不知所以然。为此，教师要多提供图形变换的形式，让学生在接受不同的感知冲击时，能够积累经验，使认知变得厚实，使储备变得丰厚。
三、用活图形，提升思维
图形不仅是解题的助手，更是促进思考的拐杖，用活图形，因势利导，能改善学习状态，激发思维活力，让数学学习活动变得富有情趣。为此，在具体的教學活动中，教师要善于利用图形，渗透不同的解题策略，促进学生感悟相应的数学思想方法。
【教学片段3】
师：如图4，已知圆的面积和长方形的面积相等，阴影部分的面积是15平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？
生1：长方形的宽是圆的半径，长是圆周长的一半。
生2：阴影部分的面积是15平方厘米。
生3：因为圆的面积和长方形的面积相等，如图6，所以红色部分的面积和蓝色部分的面积是相等的。这样红色部分的面积就是圆的面积的3/4。
师：你的发现很了不起！能说得具体一点吗？
生4：圆和长方形同时挖掉一个1/4圆，剩下的3/4圆和阴影部分的面积相等。
师：大家听得懂吗？结合图形找出最基本的关系，试着独立完成题目。
生5：15÷3×4=20（平方厘米）。
看似同样的图形，但思考的着力点却迥然不同。为此，引领学生科学解读习题、把握问题本质就显得尤为重要。合作研究能使学生摆脱定式思维，学会换个角度去解析问题，找到图形之间的根本性联系。学生精彩的发言说明了学生完全有能力理解图形转化的策略，只要教师在教学中有机渗透，引领学生精准解读图形，充分相信学生的认知、技能与经验储备，学生的思维一定会得到锻炼和发展。
挖掘图形中的有效资源，能够提升教学的含金量，也能促使学生调动所有的资源去探索、去研究，使学习演变为一种享受，一种快乐的体验。教师要做源头活水的开掘者，挖掘教材，活用教材，使教材成为奔涌无穷智慧的源泉。
（责编 童 夏）