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摘 要：化归法在数学中是一个非常基本的思想方法，有着十分广泛的应用。熟练掌握并运用化归法，对于学好中学数学具有重要意义。而顺利实现化归的关键，则是掌握一些常用的化归法技巧。
关键词：中学数学 化归法
把待解决的问题，通过某种手续，转化为能解决或者比较容易解决的问题，这就是数学中常用的最基本的思维方法——化归法。熟练掌握并运用化归法，对于学好数学具有重要意义。笔者结合多年从教经验，介绍几个中学数学中常用的化归法技巧。
一、抓住知识间的结合点
数学的许多知识相互有联系，那些知识结合点就是联系若干知识的纽带，是化归必经的桥梁。例如：“对应”是集合与函数的结合点，“系数行列式”是行列式与线性方程组的结合点，“坐标”是数与形的结合点，“辐角”是三角与复数的结合点等。解题时，抓住结合点，弄清知识间的联示，往往就可找到化归的途径，从而实现化归。
例1：已知ta α+ctg β-6tgα-4ctgβ+12≤0，求tg α+ctg β的最值。
分析：由tg α+ctg β-6tgα-4ctgβ+12≤0整理得(tgα-3) +(ctgβ-2) ≤1，令x=tgα，y=ctgβ，有（x-3) +(y-2) ≤1，x∈［2，4］，y∈［1，3］，如图1，即以点O （3，2）为圆心，以1为半径的圆域（包括边圆），所以要求tg α+ctg β的最值，即求x +y 的最值。这样以坐标为纽带，就有可能把所给问题转化为解析几何问题来解。令R =x +y ，设O为坐标原点，连OO ，R的最值由直线OO 和圆（x-3) +(y-2) =1的两个交点A、B决定。
最大半径R=|OA|=|OO |+|O A|=1+
最小半径R=|OB|=|OO |-|O B|= -1，
故R=14+2 ，R=14-2 。
例2：设a、b、c、d∈R，求证： ≥ 。
分析：这个不等式证明显然可用分析法证明，若从三个无理式可联想到两点间距离公式，即把代数问题化归转化为几何问题，使问题容易理解得多。
证明：如图2，设O（0，0）、M（a，b）、N（c，d），则|OM|= ，|ON|= ，|MN|= ，所以|OM|+|ON|≥|MN|（三角形二边形之和大于第三边），即 + ≥ 。
二、应用关系——映射——反演原则
所谓关系——映射——反演原则，粗略地说，就是若{a，b，x}是由数学对象（a），数学关系（b）等构成的关系结构系统，X是待定目标，通过某一法则f将{a，b，x}映射到{a′，b′，x′}， x′是x的像，通过一定手续可确定x′，然后由x′再反演来确定x。关系——映射——反演原则属于一般科学方法范畴，内容十分丰富，中学数学中的函数法，换元法、坐标法、参数法、向量法等都是关系——映射——反演原则的具体表现，都是化归的重要手段。
例3：已知a 、b∈R ，且e＜a＜b，(e=2.71……）求证：a ＞b 。
证明：欲证a ＞b ，两边取自然对数化归为blna＞alnb，即只要证 ＞ 。f(x)= (x＞e)，则f′(x)= ＜0(x＞e)，故f(x)是减函数。而e＜a＜b，所以f(a)＞f(b)，即 ＞ 成立，从而a ＞b 成立。
例4：求函数y=5-x+ 的最大值。
解：令t= ，则x= (t +1)且t≥0。
因为y=5- (t +1)+t=- (t- ) + ，
所以当t= 时，函数y=5-x+ 的最大值为 。
三、特殊与一般互化
根据形式逻辑，一命题若在特殊条件下为假，则在一般条件下亦假；若在一般条件下为真，则在特殊条件下亦为真。这样，欲断定一般条件为假的问题，可化为特殊条件为假的问题解决；欲断定特殊条件为真的问题，可化为一般条件为真的问题解决。
例5：下列各函数中，偶函数是（ ）。
（A）f(x)=x ?摇?摇（B）g(x)=( ) ?摇?摇（C）ψ(x)=2lgx?摇?摇（D）y=lgx +3
解：取特殊值x=1和x=-1， 当f(1)≠f(-1)，则f(x)一定不是偶函数，从而（A）、（B）、（C）被排除，故正确答案为（D）。
例6：若sina≠0，求证：cosa+cos3a+cos5a= 。
分析：若直接证明颇繁，但观察等式两边规律，可转为一般证明。cosa+cos3a+cos5a+……cos（2n-1)α= 。用数
学归纳法易证等式成立。再令n=3，即得原等式成立。
四、分解、组合对原题变形
儿童玩积木常把原有形体拆散后重新堆积，以达到称心的形体。用化归法解题时也是这样，若所给问题的关系结构不利于化归，可考虑分解后重新组合，使新结构易于化归。面积，体积等计算题，常用这种方法。
例7：如图3，已知三棱锥P—ABC中，棱AC长为6，其余各棱长均为5，求此三棱锥体积。
分析：若用公式V= PO·S （PO为高）直接计算，计算量颇大。注意到只有棱AC长为6，其它棱长都是5，故可过AC中点作平面把原三棱锥分成两个体积相等的小三棱锥，使问题化归为求小三棱锥的体积。
解：取AC中点D，则直线AC与平面PBO垂直，
例8：如图4，已知长方体ABCD—A′B′C′D′的长、宽、高分别为a、b、c，求长方体的内接四面体B —ACD 的体积。
分析：求四面体体积一般使用三棱锥体积公式：V= hS 。上述四面体每一个面都是原长方体的一个截面，四面体的边长都可以求出，但计算底面积的计算量较大，而且计算四面体的高更不是易事。若考虑所求四面体和已知长方体的关系，它恰好是已知长方体的切去4个等积的三棱锥的结果。
所以V =V -4V =abc-4× abc= abc。
五、降维或升维
通过截面，可把三维问题转化为二维问题。类似的思想还表现为在解方程时，从高次方程向低次方程转化，把多元函数问题转化为一元函数问题，把倍角三角函数转化为单角三角函数，把多重积分变成单变量定积分等等，都利用降维实现化归。有时它的反面——升维，也能起到很好的化归效果。
例9：解方程（x-2)(x+3)(x-1)(x-6)=-64。
分析：此方程一看是高次方程，无常规方法可循，因而可考虑通过降次方法解决。
解：原方程变形为（x -3x+2)(x -3x-18)=-64
令y=x -3x，则（y+2)(y-18)=-64。
解之得y =2，y =-14，分别代入y=x -3x中，
解之得：x =
例10：半径为R的圆，内接一个矩形，问当矩形的长与宽为何值时，其面积最大？
分析：矩形面积达到最大值是一个常量，为求这个常量，可先化为变量研究。
解：如图5
矩形ABCD内接于半径为R的⊙O，设∠ABC=θ（变量），
因AC=BD=2R，
则S =AB·BC=ACsinθ·ACcosθ=(2R) sinθcosθ=2R sin2θ。
当2θ= ，即θ= 时，S有最大值，故当AB=BC= R时，圆内接矩形面积最大。
教师通过在课堂教学中化归法的大量运用，可让学生们掌握这一方法和技巧，提高他们的学习兴趣和方法，从而提高学习的效果。
参考文献：
［1］郁林兴.以数学问题的解决为主线，巧妙推进循环教学.陕西教育（理论），2006年第12期.
［2］郭坤.化归思想在数学教学中的渗透.教学与管理，2003年第24期.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：中学数学 化归法
把待解决的问题，通过某种手续，转化为能解决或者比较容易解决的问题，这就是数学中常用的最基本的思维方法——化归法。熟练掌握并运用化归法，对于学好数学具有重要意义。笔者结合多年从教经验，介绍几个中学数学中常用的化归法技巧。
一、抓住知识间的结合点
数学的许多知识相互有联系，那些知识结合点就是联系若干知识的纽带，是化归必经的桥梁。例如：“对应”是集合与函数的结合点，“系数行列式”是行列式与线性方程组的结合点，“坐标”是数与形的结合点，“辐角”是三角与复数的结合点等。解题时，抓住结合点，弄清知识间的联示，往往就可找到化归的途径，从而实现化归。
例1：已知ta α+ctg β-6tgα-4ctgβ+12≤0，求tg α+ctg β的最值。
分析：由tg α+ctg β-6tgα-4ctgβ+12≤0整理得(tgα-3) +(ctgβ-2) ≤1，令x=tgα，y=ctgβ，有（x-3) +(y-2) ≤1，x∈［2，4］，y∈［1，3］，如图1，即以点O （3，2）为圆心，以1为半径的圆域（包括边圆），所以要求tg α+ctg β的最值，即求x +y 的最值。这样以坐标为纽带，就有可能把所给问题转化为解析几何问题来解。令R =x +y ，设O为坐标原点，连OO ，R的最值由直线OO 和圆（x-3) +(y-2) =1的两个交点A、B决定。
最大半径R=|OA|=|OO |+|O A|=1+
最小半径R=|OB|=|OO |-|O B|= -1，
故R=14+2 ，R=14-2 。
例2：设a、b、c、d∈R，求证： ≥ 。
分析：这个不等式证明显然可用分析法证明，若从三个无理式可联想到两点间距离公式，即把代数问题化归转化为几何问题，使问题容易理解得多。
证明：如图2，设O（0，0）、M（a，b）、N（c，d），则|OM|= ，|ON|= ，|MN|= ，所以|OM|+|ON|≥|MN|（三角形二边形之和大于第三边），即 + ≥ 。
二、应用关系——映射——反演原则
所谓关系——映射——反演原则，粗略地说，就是若{a，b，x}是由数学对象（a），数学关系（b）等构成的关系结构系统，X是待定目标，通过某一法则f将{a，b，x}映射到{a′，b′，x′}， x′是x的像，通过一定手续可确定x′，然后由x′再反演来确定x。关系——映射——反演原则属于一般科学方法范畴，内容十分丰富，中学数学中的函数法，换元法、坐标法、参数法、向量法等都是关系——映射——反演原则的具体表现，都是化归的重要手段。
例3：已知a 、b∈R ，且e＜a＜b，(e=2.71……）求证：a ＞b 。
证明：欲证a ＞b ，两边取自然对数化归为blna＞alnb，即只要证 ＞ 。f(x)= (x＞e)，则f′(x)= ＜0(x＞e)，故f(x)是减函数。而e＜a＜b，所以f(a)＞f(b)，即 ＞ 成立，从而a ＞b 成立。
例4：求函数y=5-x+ 的最大值。
解：令t= ，则x= (t +1)且t≥0。
因为y=5- (t +1)+t=- (t- ) + ，
所以当t= 时，函数y=5-x+ 的最大值为 。
三、特殊与一般互化
根据形式逻辑，一命题若在特殊条件下为假，则在一般条件下亦假；若在一般条件下为真，则在特殊条件下亦为真。这样，欲断定一般条件为假的问题，可化为特殊条件为假的问题解决；欲断定特殊条件为真的问题，可化为一般条件为真的问题解决。
例5：下列各函数中，偶函数是（ ）。
（A）f(x)=x ?摇?摇（B）g(x)=( ) ?摇?摇（C）ψ(x)=2lgx?摇?摇（D）y=lgx +3
解：取特殊值x=1和x=-1， 当f(1)≠f(-1)，则f(x)一定不是偶函数，从而（A）、（B）、（C）被排除，故正确答案为（D）。
例6：若sina≠0，求证：cosa+cos3a+cos5a= 。
分析：若直接证明颇繁，但观察等式两边规律，可转为一般证明。cosa+cos3a+cos5a+……cos（2n-1)α= 。用数
学归纳法易证等式成立。再令n=3，即得原等式成立。
四、分解、组合对原题变形
儿童玩积木常把原有形体拆散后重新堆积，以达到称心的形体。用化归法解题时也是这样，若所给问题的关系结构不利于化归，可考虑分解后重新组合，使新结构易于化归。面积，体积等计算题，常用这种方法。
例7：如图3，已知三棱锥P—ABC中，棱AC长为6，其余各棱长均为5，求此三棱锥体积。
分析：若用公式V= PO·S （PO为高）直接计算，计算量颇大。注意到只有棱AC长为6，其它棱长都是5，故可过AC中点作平面把原三棱锥分成两个体积相等的小三棱锥，使问题化归为求小三棱锥的体积。
解：取AC中点D，则直线AC与平面PBO垂直，
例8：如图4，已知长方体ABCD—A′B′C′D′的长、宽、高分别为a、b、c，求长方体的内接四面体B —ACD 的体积。
分析：求四面体体积一般使用三棱锥体积公式：V= hS 。上述四面体每一个面都是原长方体的一个截面，四面体的边长都可以求出，但计算底面积的计算量较大，而且计算四面体的高更不是易事。若考虑所求四面体和已知长方体的关系，它恰好是已知长方体的切去4个等积的三棱锥的结果。
所以V =V -4V =abc-4× abc= abc。
五、降维或升维
通过截面，可把三维问题转化为二维问题。类似的思想还表现为在解方程时，从高次方程向低次方程转化，把多元函数问题转化为一元函数问题，把倍角三角函数转化为单角三角函数，把多重积分变成单变量定积分等等，都利用降维实现化归。有时它的反面——升维，也能起到很好的化归效果。
例9：解方程（x-2)(x+3)(x-1)(x-6)=-64。
分析：此方程一看是高次方程，无常规方法可循，因而可考虑通过降次方法解决。
解：原方程变形为（x -3x+2)(x -3x-18)=-64
令y=x -3x，则（y+2)(y-18)=-64。
解之得y =2，y =-14，分别代入y=x -3x中，
解之得：x =
例10：半径为R的圆，内接一个矩形，问当矩形的长与宽为何值时，其面积最大？
分析：矩形面积达到最大值是一个常量，为求这个常量，可先化为变量研究。
解：如图5
矩形ABCD内接于半径为R的⊙O，设∠ABC=θ（变量），
因AC=BD=2R，
则S =AB·BC=ACsinθ·ACcosθ=(2R) sinθcosθ=2R sin2θ。
当2θ= ，即θ= 时，S有最大值，故当AB=BC= R时，圆内接矩形面积最大。
教师通过在课堂教学中化归法的大量运用，可让学生们掌握这一方法和技巧，提高他们的学习兴趣和方法，从而提高学习的效果。
参考文献：
［1］郁林兴.以数学问题的解决为主线，巧妙推进循环教学.陕西教育（理论），2006年第12期.
［2］郭坤.化归思想在数学教学中的渗透.教学与管理，2003年第24期.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”