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摘 要：教学中不可小视学生，有些学生对数学问题不仅仅局限于常规的解法，而是在你不经意的时候让你眼前一亮，或是猝不及防，他们的那些为什么，可以让课堂产生意想不到的效果. 由此给我们教者一些思考，只有让学生陶醉在和谐、辩证、统一的数学求解探究的氛围之中，才能够让他们真正地学会思考，学会学习，使课堂效益最大化.
关键词：独立思考；探究；合作交流；数学思维
在高三复习中，常常会进行灵活性较强的综合题演练和讲评，其目的在于，强化学生对核心知识与方法的综合运用，加深理解，优化知识结构，从而近一步提高灵活解题的能力，以及能从整体的高度驾驭高中所学的内容. 但在实际的教学中，往往并不能达到预期中的目标和效果，而不得不陷入就题论题的讲课模式，极大地阻碍了学生独立思考、积极探究，更谈不上合作交流、开启思维. 本文想以一道高三模拟试题为例，谈谈利用对试题的解答过程的研究，再现师生真实思维的过程，思考实现有效沟通的方法.
[?] 题目
如图1：△ABC中，AB=3，AC=6，BC=7， AD为∠BAC的角平分线且AD交BC于D，求BD∶DC.
[A][B][C][D]
图1
[?] 课堂再现
教师：同学们，这道题考查的知识背景是什么？
学生1：我认为主要考查三角形的边角关系.
教师：很好，那么接下来请三个学习小组分别研究该图形中给定的边角关系，并进一步探究它们之间的联系.
小组1代表：由三边的长：AB=3，AC=6，BC=7，运用余弦定理可以求出三角的余弦值.
小组2代表：因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD =∠CAD且sin ∠BAD=sin∠CAD，cos∠BAD=cos∠CAD.
小组3代表：∠ADB ∠ADC=180°这个关系也很重要，sin∠ADB=sin∠ADC，cos∠ADB cos∠ADC=0.
教师：大家分析得很好，那么联系三角形边角关系的纽带是什么呢？
学生一起回答：正弦定理与余弦定理！
教师：很好，接下来就请同学们围绕正弦定理与余弦定理这两个核心来探索本题，看能否各自突破，还是要联手解决？（思考，研究，激烈的讨论……）
小组1代表板书：△BAD中：=（1），
△CAD中：=（2）.
因为∠ADB ∠ADC=π，∠BAD=∠CAD，
所以sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠CAD，所以得：===.
小组2代表板书：设AD=y，BD=x，CD=7-x，
cos∠ADB=，
cos∠ADC=，
cos∠BAD=，
cos∠CAD=，
所以
=0，
=
. 但因为运算量大而未解出答案.
小组3代表，我组赞同小组2的解法，但我们建立的是方程组：
cosB=
=，
=
，
很快解出x=.
教师：以BD的长为目标，运用“方程（组）的思想”解决问题确实是可行的一种选择，但此种方法运算量相对较大，所以方程的选择至关重要，在这一点上小组3的选择是明智的. 以上是大家从正弦、余弦定理的角度解决了本题，也抓住了三角形问题的核心，但对于这道题的解答，我们是不是还可以找到其他的解题途径呢？（小组思考交流）
学生2：作AH⊥BD，垂足为H，S△ABD=BD·AH=AB·AD·sin∠BAD，S△ACD=CD·AH=AC·AD·sin∠CAD，因为====.
[A][B][C][D][H]
图2
教师：此解法非常漂亮，运用几何关系，巧妙地借助三角形的面积公式将本题求解，真的很棒！学生的气氛明显活跃了，很多人都蠢蠢欲动.
学生3：受学生2的启发，他分别过D作AB和AC边上的高DE，DF，S△ABD=BD·AH=AB·DE，S△ACD=CD·AH=AC·DF，所以====.
[A][B][C][D][E][F]
图3
教师：你太棒了！你的思维脚步跟得可真快呀，根本未用高中数学知识就渡过了这个难关，那么同学们能否就凭借初中平面几何的知识来进一步探究本题呢？
学生4：本题求的是一个比值，我认为应该可以从构造相似比的角度去思考，但是暂时我还未想到办法. （同学们笑了）
教师：学生4的想法很可贵，同学们能否就从这个切入口试试看？（思考，探究，讨论）
[A][B][C][D][E]
图4
小组3代表：过C作AB的平行线CE交AD的延长线于点E， 易得△ABD∽△CED，∠AEC=∠CAE，所以=，AC=CE，所以==.
因此， 灵活性思维是善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质，并要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知识，寻找解答途径.
小组1代表：我们过点B作AC的平行线BE交AD的延长线于点E，也可以类似地解决问题.
==. 因为∠BAD=∠ADE=∠DAE，所以AE=DE，所以=，所以DE=2，所以=，所以=.[A][B][C][D][E]
图5
小组2代表：也可以过点D作AB的平行线交AC于E.
教师：同学们的思维也启发了老师，大家不觉得“”这个比值很特殊吗？
学生：三角形的重心将每一条中线分成了的两段.
教师：BC是中线吗？D是重心吗？（思考，探究，讨论）
学生：老师，我们有办法了，将AB长延至E使BE=AB=3，连接CE，延长AD交CE于F，则CB为边AE的中线，AF为边CE的中线，那么D即为三角形ACE的重心.
[A][B][C][D][E][F]
图6
教师：非常好！但是如果将AB=3换成AB=4呢？或将AD为角A的平分线去掉呢？刚刚“构造重心”的这种方法具有一定的局限性. 以上的解题方法真可谓异彩纷呈！探究的路上，老师从你们身上感染了不懈追求的精神，老师相信你们一定能成功地徜徉在数学的海洋里，最后希望同学们能扎实地掌握一类问题的通性通法！
[?] 几点思考
重新审视这道题目，很显然命题人的意图是以一道“较简单”的题来考查三角形的边角关系，但该题的得分情况却让人始料未及，大部分学生无从下笔，少部分做出来的学生也在此耗费了大量的时间，再加上这道题放在15题的位置也很大程度上影响了考生的心态，导致后面的基础题与中档题发挥不好，最终这次模拟考试的数学成绩可想而知. 这种结果引起了我们的反思，究竟我们平时的教学环节出了什么问题，真的是学生能力达不到吗？在这堂课讲评后，我们从学生的反应可以发现，我们在平常教学中不可小视学生，有些学生解数学问题时不局限于常规的解法，而是在你不经意的时候让你眼前一亮，或是猝不及防，他们的那些为什么，可以让课堂产生意想不到的效果. 由此给我们教者一些思考，只有让学生陶醉在和谐、辩证、统一的数学求解探究的氛围之中，才能够让学生真正地学会思考，学会学习，使课堂效益最大化.
1. 让数学课堂在学生的问题探究中自然生成
有效的数学课堂离不开教师的精心预设，但如果死抱预设的教案，害怕“出格”，排斥学生的个性思考，其结果是泯灭了学生的创造性. 就像本节讲评课，如果教师只是讲几种解法，不让学生去探究，学生的思维不可能得到有效的锻炼. 可能与教师先前预设的课堂讲评内容是不一样的，从课堂容量的角度看似远远没有达到教学目标，但是笔者相信这节课一定会让学生对三角形的边角关系问题的解决有了一个更深刻的认识，也让为师者对学生的思维潜力有了全新的认识. 从学生身上笔者看到了迷惘时的焦急、探究时的热情、成功时的喜悦. 而这样的一个过程对于我们老师来说又何尝不是一种提高，况且要成为一个优秀的课堂引导者，需要我们对自己有更高的要求，要有更充分的课前准备和研究. 笔者相信只有提高了自己，才有可能提高学生.
2. 让数学课堂在学生的积极思考中和谐统一
数学课堂应该是动态的，学生不是承载知识的容器，他们带着自己的知识、经验、思考、兴致参与课堂，用特有的思维方式构建着对数学的理解，教学中对学生的思考要因势利导，善于从学生的问题中生成鲜活的教学资源，并充分加以利用，如利用课堂上学生的灵机一动、疏忽大意、节外生枝、深思顿悟等等，努力为学生营造一个宽松、民主、开放、愉快的教学环境，让学生多质疑，多探索，使数学课堂充满生机和活力，真正成为学生全面发展、训练思维的主战场. 在本节课中，通过评讲活动，展示学生的原思维情景，特别是其中的曲折反复的探索经历，让学生看到了老师和同学当初是如何进行分析、判断，绕过障碍，走向成功的，尤其是展现出师生探索中的无效或错误的思维过程，让学生评价为什么会产生错误或无效，如何避免，让学生看到更正错误、调整方向的思维过程，这种再创造的形式，是培养学生学习能力、数学品质的朴素而有效的方法.
3. 教师要加强学习，提高课堂的应变能力
在教学的实践中，我们能体会到，课前无论教师将问题考虑得多么充分，都无法完全预测到学生在课堂上自我构建新知的过程中会回答或提出怎样的问题，新课程的理念之风已经在教育这片沃土上吹拂了很久，我们教师也慢慢地从思想上接受和认同了新理念，但是在教学实践中，我们还难以真正做到“学生会说的话我们老师不说，学生能做的事我们老师不做”. 反思自己的教学，就好比“教小孩走路”，已经从“将其紧紧地抱在怀中”向“将其放到地面上，只是还不敢大胆放开他们的手”转变，相信现在的自己已经从学生的身上获得了勇气，笔者已不怕他们会跌倒，因为笔者知道他们一定能勇敢地站起来，何况还有我们老师“做好了准备”适时地拉他们一把. 只有这样，他们才能早一天稳健地独行在数学之路上. 所谓“学然后知不足，教然后知困也”. 教师如何教？是将知识点告知学生，还是让学生在教师引导下的合作探究中去发现？是将一种又一种的解题方法展现给学生，还是让学生自行去挖掘，去讨论，去比较？是不辞辛苦地一次又一次强调何处是易错点，还是让学生在易错处狠狠跌个大跟头再痛定思痛，追根溯源？是在讲解问题时提示并询问学生这是何种思想方法，还是不断渗透思想方法，并让学生探究感悟每一种思想方法的“源头”和“流向”？ 的确，学生在学习中暴露出来的问题也正折射了我们教师在教学中的不足，我们期待学生的提高与进步，就应该对自己有更高的要求与追求.
总之，课堂教学是一个动态的生成过程，教师随时都面临着巨大的挑战. 只有不断地加强自身的学习，深入理解课堂教学的本质，并掌握一定的教学技巧，才能不断地提升课堂应变能力，更好地适应新课程的数学教学任务，机智地引领课堂走向智慧、高效，为培养高素质的人才做出积极的贡献.
关键词：独立思考；探究；合作交流；数学思维
在高三复习中，常常会进行灵活性较强的综合题演练和讲评，其目的在于，强化学生对核心知识与方法的综合运用，加深理解，优化知识结构，从而近一步提高灵活解题的能力，以及能从整体的高度驾驭高中所学的内容. 但在实际的教学中，往往并不能达到预期中的目标和效果，而不得不陷入就题论题的讲课模式，极大地阻碍了学生独立思考、积极探究，更谈不上合作交流、开启思维. 本文想以一道高三模拟试题为例，谈谈利用对试题的解答过程的研究，再现师生真实思维的过程，思考实现有效沟通的方法.
[?] 题目
如图1：△ABC中，AB=3，AC=6，BC=7， AD为∠BAC的角平分线且AD交BC于D，求BD∶DC.
图1
[?] 课堂再现
教师：同学们，这道题考查的知识背景是什么？
学生1：我认为主要考查三角形的边角关系.
教师：很好，那么接下来请三个学习小组分别研究该图形中给定的边角关系，并进一步探究它们之间的联系.
小组1代表：由三边的长：AB=3，AC=6，BC=7，运用余弦定理可以求出三角的余弦值.
小组2代表：因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD =∠CAD且sin ∠BAD=sin∠CAD，cos∠BAD=cos∠CAD.
小组3代表：∠ADB ∠ADC=180°这个关系也很重要，sin∠ADB=sin∠ADC，cos∠ADB cos∠ADC=0.
教师：大家分析得很好，那么联系三角形边角关系的纽带是什么呢？
学生一起回答：正弦定理与余弦定理！
教师：很好，接下来就请同学们围绕正弦定理与余弦定理这两个核心来探索本题，看能否各自突破，还是要联手解决？（思考，研究，激烈的讨论……）
小组1代表板书：△BAD中：=（1），
△CAD中：=（2）.
因为∠ADB ∠ADC=π，∠BAD=∠CAD，
所以sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠CAD，所以得：===.
小组2代表板书：设AD=y，BD=x，CD=7-x，
cos∠ADB=，
cos∠ADC=，
cos∠BAD=，
cos∠CAD=，
所以
=0，
=
. 但因为运算量大而未解出答案.
小组3代表，我组赞同小组2的解法，但我们建立的是方程组：
cosB=
=，
=
，
很快解出x=.
教师：以BD的长为目标，运用“方程（组）的思想”解决问题确实是可行的一种选择，但此种方法运算量相对较大，所以方程的选择至关重要，在这一点上小组3的选择是明智的. 以上是大家从正弦、余弦定理的角度解决了本题，也抓住了三角形问题的核心，但对于这道题的解答，我们是不是还可以找到其他的解题途径呢？（小组思考交流）
学生2：作AH⊥BD，垂足为H，S△ABD=BD·AH=AB·AD·sin∠BAD，S△ACD=CD·AH=AC·AD·sin∠CAD，因为====.
图2
教师：此解法非常漂亮，运用几何关系，巧妙地借助三角形的面积公式将本题求解，真的很棒！学生的气氛明显活跃了，很多人都蠢蠢欲动.
学生3：受学生2的启发，他分别过D作AB和AC边上的高DE，DF，S△ABD=BD·AH=AB·DE，S△ACD=CD·AH=AC·DF，所以====.
图3
教师：你太棒了！你的思维脚步跟得可真快呀，根本未用高中数学知识就渡过了这个难关，那么同学们能否就凭借初中平面几何的知识来进一步探究本题呢？
学生4：本题求的是一个比值，我认为应该可以从构造相似比的角度去思考，但是暂时我还未想到办法. （同学们笑了）
教师：学生4的想法很可贵，同学们能否就从这个切入口试试看？（思考，探究，讨论）
图4
小组3代表：过C作AB的平行线CE交AD的延长线于点E， 易得△ABD∽△CED，∠AEC=∠CAE，所以=，AC=CE，所以==.
因此， 灵活性思维是善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质，并要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知识，寻找解答途径.
小组1代表：我们过点B作AC的平行线BE交AD的延长线于点E，也可以类似地解决问题.
==. 因为∠BAD=∠ADE=∠DAE，所以AE=DE，所以=，所以DE=2，所以=，所以=.
图5
小组2代表：也可以过点D作AB的平行线交AC于E.
教师：同学们的思维也启发了老师，大家不觉得“”这个比值很特殊吗？
学生：三角形的重心将每一条中线分成了的两段.
教师：BC是中线吗？D是重心吗？（思考，探究，讨论）
学生：老师，我们有办法了，将AB长延至E使BE=AB=3，连接CE，延长AD交CE于F，则CB为边AE的中线，AF为边CE的中线，那么D即为三角形ACE的重心.
图6
教师：非常好！但是如果将AB=3换成AB=4呢？或将AD为角A的平分线去掉呢？刚刚“构造重心”的这种方法具有一定的局限性. 以上的解题方法真可谓异彩纷呈！探究的路上，老师从你们身上感染了不懈追求的精神，老师相信你们一定能成功地徜徉在数学的海洋里，最后希望同学们能扎实地掌握一类问题的通性通法！
[?] 几点思考
重新审视这道题目，很显然命题人的意图是以一道“较简单”的题来考查三角形的边角关系，但该题的得分情况却让人始料未及，大部分学生无从下笔，少部分做出来的学生也在此耗费了大量的时间，再加上这道题放在15题的位置也很大程度上影响了考生的心态，导致后面的基础题与中档题发挥不好，最终这次模拟考试的数学成绩可想而知. 这种结果引起了我们的反思，究竟我们平时的教学环节出了什么问题，真的是学生能力达不到吗？在这堂课讲评后，我们从学生的反应可以发现，我们在平常教学中不可小视学生，有些学生解数学问题时不局限于常规的解法，而是在你不经意的时候让你眼前一亮，或是猝不及防，他们的那些为什么，可以让课堂产生意想不到的效果. 由此给我们教者一些思考，只有让学生陶醉在和谐、辩证、统一的数学求解探究的氛围之中，才能够让学生真正地学会思考，学会学习，使课堂效益最大化.
1. 让数学课堂在学生的问题探究中自然生成
有效的数学课堂离不开教师的精心预设，但如果死抱预设的教案，害怕“出格”，排斥学生的个性思考，其结果是泯灭了学生的创造性. 就像本节讲评课，如果教师只是讲几种解法，不让学生去探究，学生的思维不可能得到有效的锻炼. 可能与教师先前预设的课堂讲评内容是不一样的，从课堂容量的角度看似远远没有达到教学目标，但是笔者相信这节课一定会让学生对三角形的边角关系问题的解决有了一个更深刻的认识，也让为师者对学生的思维潜力有了全新的认识. 从学生身上笔者看到了迷惘时的焦急、探究时的热情、成功时的喜悦. 而这样的一个过程对于我们老师来说又何尝不是一种提高，况且要成为一个优秀的课堂引导者，需要我们对自己有更高的要求，要有更充分的课前准备和研究. 笔者相信只有提高了自己，才有可能提高学生.
2. 让数学课堂在学生的积极思考中和谐统一
数学课堂应该是动态的，学生不是承载知识的容器，他们带着自己的知识、经验、思考、兴致参与课堂，用特有的思维方式构建着对数学的理解，教学中对学生的思考要因势利导，善于从学生的问题中生成鲜活的教学资源，并充分加以利用，如利用课堂上学生的灵机一动、疏忽大意、节外生枝、深思顿悟等等，努力为学生营造一个宽松、民主、开放、愉快的教学环境，让学生多质疑，多探索，使数学课堂充满生机和活力，真正成为学生全面发展、训练思维的主战场. 在本节课中，通过评讲活动，展示学生的原思维情景，特别是其中的曲折反复的探索经历，让学生看到了老师和同学当初是如何进行分析、判断，绕过障碍，走向成功的，尤其是展现出师生探索中的无效或错误的思维过程，让学生评价为什么会产生错误或无效，如何避免，让学生看到更正错误、调整方向的思维过程，这种再创造的形式，是培养学生学习能力、数学品质的朴素而有效的方法.
3. 教师要加强学习，提高课堂的应变能力
在教学的实践中，我们能体会到，课前无论教师将问题考虑得多么充分，都无法完全预测到学生在课堂上自我构建新知的过程中会回答或提出怎样的问题，新课程的理念之风已经在教育这片沃土上吹拂了很久，我们教师也慢慢地从思想上接受和认同了新理念，但是在教学实践中，我们还难以真正做到“学生会说的话我们老师不说，学生能做的事我们老师不做”. 反思自己的教学，就好比“教小孩走路”，已经从“将其紧紧地抱在怀中”向“将其放到地面上，只是还不敢大胆放开他们的手”转变，相信现在的自己已经从学生的身上获得了勇气，笔者已不怕他们会跌倒，因为笔者知道他们一定能勇敢地站起来，何况还有我们老师“做好了准备”适时地拉他们一把. 只有这样，他们才能早一天稳健地独行在数学之路上. 所谓“学然后知不足，教然后知困也”. 教师如何教？是将知识点告知学生，还是让学生在教师引导下的合作探究中去发现？是将一种又一种的解题方法展现给学生，还是让学生自行去挖掘，去讨论，去比较？是不辞辛苦地一次又一次强调何处是易错点，还是让学生在易错处狠狠跌个大跟头再痛定思痛，追根溯源？是在讲解问题时提示并询问学生这是何种思想方法，还是不断渗透思想方法，并让学生探究感悟每一种思想方法的“源头”和“流向”？ 的确，学生在学习中暴露出来的问题也正折射了我们教师在教学中的不足，我们期待学生的提高与进步，就应该对自己有更高的要求与追求.
总之，课堂教学是一个动态的生成过程，教师随时都面临着巨大的挑战. 只有不断地加强自身的学习，深入理解课堂教学的本质，并掌握一定的教学技巧，才能不断地提升课堂应变能力，更好地适应新课程的数学教学任务，机智地引领课堂走向智慧、高效，为培养高素质的人才做出积极的贡献.