摘  要：利用解题坐标系，对一道数学题多角度思考，感受其中解题思维的奥妙，有利于培养学习者对数学学习的兴趣，促进其解题能力和思维能力的提高。
　　关键词：解题坐标系;数学解题;思维能力
　　罗增儒[1]将数学问题系统表示成以数学方法的实施与数学原理（公理、定理、公式、概念等）的应用为横纵两轴的解题坐标系（具体见图1）。其中，题目的条件和结论表示坐标平面上的两点。由此可见，寻求条件与结论的逻辑渠道就是解题的思考中心：以方法或技巧的运用进行横轴方法的推进，数学内容的转化进行纵轴方向的推进。那么，数学问题的解答思路便在内容与方法的统一与转化中诞生。本文借用此构想，对一道数学题向横纵两轴进行多角度思，激发学习者对数学的兴趣，以便促进其思维能力的提高。
　　图1
　　例：若，证：。
　　思路一：构建解题坐标系，题意可表示为以条件或结论为中心的一系列同心圆。从条件出发的同心圆信息，预示可知并启发解题手段;从结论出发的同心圆信息，预告需知并诱导解题方向。观察该题结论为含有根式的不等式证明，可容易预知平方作差的一般方法。
　　证明：
　　=，
　　，
　　又
　　。
　　思路二：从结论出发的同心圆信息中，当对其横轴投影：不等式两边平方，还可预知直接利用柯西不等式。
　　证明：由，根据柯西不等式，
　　，
　　。
　　以上两种思考都直接利用证明不等式的一般方法，体现了解题坐标系中横轴方法的推进，然解题思维并不高，无法体现思维的发散性和创造性。因此，我们可以试着再向纵轴方向投影，将不等式转化成一个等价、类比的问题，更多有趣的解题思路便在转化中诞生。
　　思路三：先对不等式横向变形为：
　　由，，且，可预知联想到，从而诱导出将不等式内容纵向转化为三角函数问题。
　　证明：要证，
　　需证，
　　利用三角换元，令，，
　　，，
　　需证，
　　即证（三角函数的有界性）。
　　思路四：向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是联系多项内容的重要媒介之一。当对纵轴推进时，不等式左边可看成数量积，右边可看成两个向量的模的乘积。因此不难再预知诱导出利用向量的数量积与模的关系解决问题。
　　证明：令，
　　cos<>
　　，
　　。
　　思路五：当同一个数学问题与多个内容相关时，说明这几个内容彼此存在着转化联系，这实质是同一知识链上的几个知识点。由于复数运算和向量运算具有密切联系，故可将向量问题纵向推进向复数表示上转化。
　　证明：令
　　，
　　。
　　思路六：由于代数与几何没有绝对界限，所以研究数学问题的代数意义时往往还可以考虑其几何意义。利用“以形助数”的数形结合思想，能够使抽象思维和形象思维相互作用，形象生动地实现该题数量关系和图像性质的相互转化，更能体现问题的内容与方法的统一与转化。
　　证明：如图2，令过原点的直线l的方程为：ax+by=0，根据点到直线的距离中，垂线段的距离最短，则点A（c，d）到直线的距离小于且等于到该点到原点的距离，
　　即，
　　故ac+bd。
　　本文前两种思路主要进行横向方法推进，表现为思维比较直接、平稳的运算，含有线性的思维形式;后四种方法注重纵向内容的相互转化，思维比较发散、活跃，含有多元的思维形式，当两者结合思考更能体现数学问题中内容与方法的统一与转化。
　　利用解题坐标系，对一道数学题多角度思考，既能促进学习者沟通各项内容与方法统一与转化的联系，从中体会“函数思想、化归与转化、数形结合”等基本数学思想，又能让其感受到数学思维的高深莫测，激发其数学学习的兴趣，从而提高其解题能力和思维能力。
　　参考文献：
　　[1]罗增儒.解题坐标系的构想[J].中学数学，1992：1-4.
　　（作者单位：西华师范大学）