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摘要： 对于数学教育的目的，现在常见的观点是要让学生学会使用数学这样一种“工具”。而本文作者认为数学教育的“思维训练功能”与“工具作用”同样重要，两者相辅相成，因此，也应该将思维训练渗透到数学教学之中。
关键词： 数学教育 目的 思维训练功能
教育，作为人类社会的一种自觉活动，其主要特征之一就是有着明确的目的性。那么数学教育的目的是什么呢？现在有一种倾向，即一味地强调数学的工具作用，认为数学教育的主要目标就是要帮助学习者掌握数学这样一种认识和实践活动的重要工具，使他们在现实中能解决实际问题。这种观念很大程度上影响了国内目前的数学教学内容、教学方法及教学过程。但我认为，这种观念过于片面，数学的思维训练功能同样重要，在培养学生的创新能力方面甚至比数学的工具作用更为重要。
一、从中西方数学发展的比较中看
比较中西数学文化，主要是比较古中国与古希腊的数学特点，代表作分别为刘徽注释的《九章算术》与欧几里德所著的《几何原本》。
受中国传统文化的实用技艺的价值观念影响，《九章算术》的唯一目的就是作为实用技艺，对现存的经济、技术问题给出具体的、实用的解决方法。它以算法为中心（这也是中国古代数学的显著特点），用“术”即一套程序化的计算公式与计算程序来求解具体的问题，算出最后的结果——一个具体的数值。我们可以将这一套程序称为“数学机械化算法体系”。在这套体系中，筹算运演只保留结果，相应的运演过程在手工操作后都不复存在。
而《几何原本》以概念、公理、公设为基础，通过逻辑论证获得数学结果——命题，它建立在一种理性论证的基础上，以几何的、三段论式的，并表现为完全脱离具体问题的逻辑演绎建构。促成数学发展史上的飞跃的三次数学危机，都是由推理过程中产生的悖论所引发的。我们把这种数学模式称为“数学公理化演绎体系”。它的命题运演过程明确地表现在文字的书写过程之中。
柏拉图开办的哲学学校不招收没有学过几何的学生，可见古希腊的数学体系偏重的是数学的“思维训练功能”，而古中国则明显偏向于用来解决实际问题的数学的“工具作用”。从数学发展的历史来看，“数学机械化算法体系”与“数学公理化演绎体系”曾反复互为消长，交替成为数学发展的主流。数学运算的程序化使复杂的计算问题易于掌握，对具体问题有更好的适用性、确定性和有效性。但是，片面地强调数学的“工具作用”，强调程序化的解决问题会产生思维定势，限制各种思维能力的发展。我认为这也是为什么现在的数学教材里全是西方的定理、公理的原因，甚至是主要原因之一。以历史为鉴，作为“思维训练”的数学，更利于培养人的创新能力，从而也更利于学科的进一步发展。
二、从数学本身特性来看
数学的对象正是人们抽象思维的产物，是“人类精神从外界借取的东西最少的创造物之一”，而“具有发明发现和创意创新的能力”被视为人类有别于其他一切生物的独特本领。于是，“要启发人类独有的这种最高贵的性能，莫过于妥善利用数学教育”。
借助于现代心理学与生理学的成果，数学是左右脑共同的产物，数学教育对人的左右脑开发都起着重要作用。左脑主要是语言的、分析的、数理的及逻辑推理的功能，其运行是因果式的思考方式，循序渐进，以线性方式处理信息。数学的符号化、形式化正需要运用左脑。右脑具有形象性、非逻辑性，它能处理尚未用语言符号正式表达的问题。顿悟、灵感、直觉的产生正是右脑在发挥作用。数学有利于人们左半脑和右半脑的均衡发展，而后者实际上就可以被看成充分发挥人类创造性才能的必由之路。
显而易见，当我们在数学教学中片面地强调数学的“工具作用”，仅注重学生能否利用所学的数学规律性的东西来按部就班地解决实际问题的时候，他们所见所用的并不是完整的数学，他们几乎只用左脑在思考问题。这样的数学教育是不负责任的数学教育。只有当我们同时也将数学的“思维训练功能”引入教学之中，让学生有机会在完全抽象的世界里大胆假设，自由想象，体验思想的飞驰，他们才可以真正地了解数学，明白数学的乐趣，感悟数学的美。
三、从社会需求来看
在20世纪上半叶，“实用主义”曾在美国占据了主导地位。学校数学的内容看来建立在一个坚实的、完全充分的知识体系的基础上，而这个体系则主要是适应一个信念，即只有可以直接应用的论题才应放在旨在为一般公众提供教育的学校中去教。这实际上反映了当时的社会需求：培养出为大规模机器生产所需要的、大量的、能够胜任简单机械劳动的廉价劳动力。
然而，从现今的角度看，把数学的教学目的仅仅局限于其“工具作用”无疑是过于肤浅了。当今社会是一个日新月异的社会，作为一个现代人才，首先就需要能够很快地接受新事物、新观念，更进一步，要能够提出新观念、新思想。这里应该反思一下为什么各大国际厂商因为“中国有大量的劳动力”而将工厂开设在中国，但中国在国际人才市场所占席位却颇少。中国现在还在培养“能够胜任简单机械劳动的廉价劳动力”，而现在社会需要的是有头脑、有思想的创新型人才。
我们现在提倡素质教育，数学素质教育的高标准是什么？应当是帮助学生“通过数学学会思维”。因此，我们必须将数学的“思维训练功能”落实到数学教育当中去，使学生通过数学学习，成为能适应现代社会的智力型、创新型人才。
四、把思维训练渗透到数学教学中去
如何将数学的“思维训练功能”真正落实到数学教育中去，首先要明确数学的“工具作用”与“思维训练功能”有什么样的关系。我们是否应当将这两者对立起来，强调一个而忽视另一个？我认为，这两者相辅相成，特别是数学的“工具作用”直接依赖于数学的思维。纯粹的“作为工具的数学”是不存在的，数学“工具作用”的发挥在很大程度上以数学思维作为必要的条件。
因此，我们在数学教育中除了强调数学知识的学习，更应当重视如何帮助学生学会像数学家那样去工作、去思维。要明白：数学学习并非是一个被动的吸收过程，而是一个以学习者已有的知识和经验为基础的主动建构过程。在实际操作中，我们可能需要将更多的时间花在问题设计上面，以提问的方式引导学生思考，让他们自己得出结论，而不是直接告诉他们“应该这样处理”。如同美国著名数学史家M.莱茵（1908—1992）对当时的新数运动的批判：“数学家花了三百年才理解复数，而我们竟马上就教给学生复数是一个有序实数对。”
数学课堂应当是活跃的，要充分调动学生思维，发挥他们的主观能动性，要允许甚至鼓励他们发现问题，提出问题，甚至犯错误。“数学不是一门枯燥乏味的科学，其实，它倒是一门需要大量想象力的科学”。
参考文献：
［1］吴文俊.关于研究数学在中国的历史与现状［J］.自然辩证法通讯，1990，（4）.
［2］郭书春.中国古代数学［M］.北京：商务印书馆，1997.
［3］彭加莱.科学的价值［M］.北京：光明日报出版社，1988.
［4］郑敏信.问题解决与数学教育［M］.南京：江苏教育出版社，1994.
关键词： 数学教育 目的 思维训练功能
教育，作为人类社会的一种自觉活动，其主要特征之一就是有着明确的目的性。那么数学教育的目的是什么呢？现在有一种倾向，即一味地强调数学的工具作用，认为数学教育的主要目标就是要帮助学习者掌握数学这样一种认识和实践活动的重要工具，使他们在现实中能解决实际问题。这种观念很大程度上影响了国内目前的数学教学内容、教学方法及教学过程。但我认为，这种观念过于片面，数学的思维训练功能同样重要，在培养学生的创新能力方面甚至比数学的工具作用更为重要。
一、从中西方数学发展的比较中看
比较中西数学文化，主要是比较古中国与古希腊的数学特点，代表作分别为刘徽注释的《九章算术》与欧几里德所著的《几何原本》。
受中国传统文化的实用技艺的价值观念影响，《九章算术》的唯一目的就是作为实用技艺，对现存的经济、技术问题给出具体的、实用的解决方法。它以算法为中心（这也是中国古代数学的显著特点），用“术”即一套程序化的计算公式与计算程序来求解具体的问题，算出最后的结果——一个具体的数值。我们可以将这一套程序称为“数学机械化算法体系”。在这套体系中，筹算运演只保留结果，相应的运演过程在手工操作后都不复存在。
而《几何原本》以概念、公理、公设为基础，通过逻辑论证获得数学结果——命题，它建立在一种理性论证的基础上，以几何的、三段论式的，并表现为完全脱离具体问题的逻辑演绎建构。促成数学发展史上的飞跃的三次数学危机，都是由推理过程中产生的悖论所引发的。我们把这种数学模式称为“数学公理化演绎体系”。它的命题运演过程明确地表现在文字的书写过程之中。
柏拉图开办的哲学学校不招收没有学过几何的学生，可见古希腊的数学体系偏重的是数学的“思维训练功能”，而古中国则明显偏向于用来解决实际问题的数学的“工具作用”。从数学发展的历史来看，“数学机械化算法体系”与“数学公理化演绎体系”曾反复互为消长，交替成为数学发展的主流。数学运算的程序化使复杂的计算问题易于掌握，对具体问题有更好的适用性、确定性和有效性。但是，片面地强调数学的“工具作用”，强调程序化的解决问题会产生思维定势，限制各种思维能力的发展。我认为这也是为什么现在的数学教材里全是西方的定理、公理的原因，甚至是主要原因之一。以历史为鉴，作为“思维训练”的数学，更利于培养人的创新能力，从而也更利于学科的进一步发展。
二、从数学本身特性来看
数学的对象正是人们抽象思维的产物，是“人类精神从外界借取的东西最少的创造物之一”，而“具有发明发现和创意创新的能力”被视为人类有别于其他一切生物的独特本领。于是，“要启发人类独有的这种最高贵的性能，莫过于妥善利用数学教育”。
借助于现代心理学与生理学的成果，数学是左右脑共同的产物，数学教育对人的左右脑开发都起着重要作用。左脑主要是语言的、分析的、数理的及逻辑推理的功能，其运行是因果式的思考方式，循序渐进，以线性方式处理信息。数学的符号化、形式化正需要运用左脑。右脑具有形象性、非逻辑性，它能处理尚未用语言符号正式表达的问题。顿悟、灵感、直觉的产生正是右脑在发挥作用。数学有利于人们左半脑和右半脑的均衡发展，而后者实际上就可以被看成充分发挥人类创造性才能的必由之路。
显而易见，当我们在数学教学中片面地强调数学的“工具作用”，仅注重学生能否利用所学的数学规律性的东西来按部就班地解决实际问题的时候，他们所见所用的并不是完整的数学，他们几乎只用左脑在思考问题。这样的数学教育是不负责任的数学教育。只有当我们同时也将数学的“思维训练功能”引入教学之中，让学生有机会在完全抽象的世界里大胆假设，自由想象，体验思想的飞驰，他们才可以真正地了解数学，明白数学的乐趣，感悟数学的美。
三、从社会需求来看
在20世纪上半叶，“实用主义”曾在美国占据了主导地位。学校数学的内容看来建立在一个坚实的、完全充分的知识体系的基础上，而这个体系则主要是适应一个信念，即只有可以直接应用的论题才应放在旨在为一般公众提供教育的学校中去教。这实际上反映了当时的社会需求：培养出为大规模机器生产所需要的、大量的、能够胜任简单机械劳动的廉价劳动力。
然而，从现今的角度看，把数学的教学目的仅仅局限于其“工具作用”无疑是过于肤浅了。当今社会是一个日新月异的社会，作为一个现代人才，首先就需要能够很快地接受新事物、新观念，更进一步，要能够提出新观念、新思想。这里应该反思一下为什么各大国际厂商因为“中国有大量的劳动力”而将工厂开设在中国，但中国在国际人才市场所占席位却颇少。中国现在还在培养“能够胜任简单机械劳动的廉价劳动力”，而现在社会需要的是有头脑、有思想的创新型人才。
我们现在提倡素质教育，数学素质教育的高标准是什么？应当是帮助学生“通过数学学会思维”。因此，我们必须将数学的“思维训练功能”落实到数学教育当中去，使学生通过数学学习，成为能适应现代社会的智力型、创新型人才。
四、把思维训练渗透到数学教学中去
如何将数学的“思维训练功能”真正落实到数学教育中去，首先要明确数学的“工具作用”与“思维训练功能”有什么样的关系。我们是否应当将这两者对立起来，强调一个而忽视另一个？我认为，这两者相辅相成，特别是数学的“工具作用”直接依赖于数学的思维。纯粹的“作为工具的数学”是不存在的，数学“工具作用”的发挥在很大程度上以数学思维作为必要的条件。
因此，我们在数学教育中除了强调数学知识的学习，更应当重视如何帮助学生学会像数学家那样去工作、去思维。要明白：数学学习并非是一个被动的吸收过程，而是一个以学习者已有的知识和经验为基础的主动建构过程。在实际操作中，我们可能需要将更多的时间花在问题设计上面，以提问的方式引导学生思考，让他们自己得出结论，而不是直接告诉他们“应该这样处理”。如同美国著名数学史家M.莱茵（1908—1992）对当时的新数运动的批判：“数学家花了三百年才理解复数，而我们竟马上就教给学生复数是一个有序实数对。”
数学课堂应当是活跃的，要充分调动学生思维，发挥他们的主观能动性，要允许甚至鼓励他们发现问题，提出问题，甚至犯错误。“数学不是一门枯燥乏味的科学，其实，它倒是一门需要大量想象力的科学”。
参考文献：
［1］吴文俊.关于研究数学在中国的历史与现状［J］.自然辩证法通讯，1990，（4）.
［2］郭书春.中国古代数学［M］.北京：商务印书馆，1997.
［3］彭加莱.科学的价值［M］.北京：光明日报出版社，1988.
［4］郑敏信.问题解决与数学教育［M］.南京：江苏教育出版社，1994.