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摘 要：压轴题一般是指试卷最后面出现的大题，它以难度大，分数高，综合性强为特点，学生要想在中考数学中脱颖而出，就必须将压轴题拿下。笔者认为初中生平时除了积累数学知识外，还应该认真分析以往中考生答错压轴题的原因，为今后的中考数学探路。
关键词：中考数学；压轴题；分析原因；探路
前段时间，本省各市进行了2018年的中考，因笔者素来就对中考数学压轴题颇感兴趣，便向多方询问了解了许多数学压轴题以及考生的解答情况，其中某市的一道数学压轴题令笔者印象深刻，原因是该压轴题的难度系数不算大，但学生的答题情况却比预期要差许多，笔者想通过此题来认清学生的思维世界，分析学生做错的原因，希望能对学生今后的答题起到切实的指导作用，为初中生今后的中考数学探出一条光明大道。
一、 题目呈现
题目：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 bx c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为（-1，4）。
（1） 求A、B两点的坐标；
（2） 求抛物线的解析式；
（3） 过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由。
二、 分析答情
下面是学生的解答情况：
第（1）问求A、B两点的坐标，学生甲和学生乙给出了不同的答案。
学生甲：∵抛物线y=ax2 bx c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，∴A点坐标为（-3，0），B点的坐标为（1，0）。
学生乙：A（1，0），B（-3，0）。
点评：第（1）问真的算得上是送分题，很多学生的解题过程跟学生甲是一样的，因为什么条件得出了什么结论，这样的用法很恰当，思路也非常清晰。令人费解的是到了中考居然还有乙给出的这种答案，原因是学生乙审题过于粗心，没注意题目里已经明确给出条件“A在B的左侧”。每次讲评作业或试卷时，总能听到学生大呼看错题了，错就是错，数学不接受“我本可以”的解释，所以笔者认为细心也是解题能力的一种，学生们应该认真对待每一道题，从“我本可以”转化到“我做到了”的状态。
第（2）问求抛物线的解析式，学生丙和学生丁给出了不同的思路。
学生丙：将（1，0），（-3，0），（0，3）代入解析式y=ax2 bx c，得：
0=a b c，0=9a-3b c，3=0 0 c， 解得
a=-1，b=-2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x 3。
学生丁：设抛物线的解析式为y=a（x 3）（x-1），把点C（0，3）代入该解析式得到3=a×3×（-1），解得a=1，则抛物线的解析式为y=-（x 3）（x-1）=-x2-2x 3。
点评：学生丙的解题一般是考生看到题目后最先想到的方法，直接将抛物线上的三点坐标代入抛物线的解析式，再解三元一次方程组即可。如果学生的运算能力不強，对方程组的解法不熟悉，也不够细心的话就会容易出现错误。如果能像学生丁那样采用设交点式的解析式的方法，这样就减少了计算量，成功率会高许多。这就要求学生在看完题目后耐心思考解题的多种策略，然后认真地选取符合自己能力的解题策略，进而提高做题的成功率。
第（3）问是当点P运动时，EF EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由。学生戊和学生己解题的突破口不同。
学生戊：EF EG是定值，且EF EG=8，理由如下：如图，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，设P（t，-t2-2t 3）则PQ=-t2-2t 3，AQ=3 t，QB=1-t，AE=2，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，
则EFPQ=AEAQ，∴EF=PQ·AEAQ=（-t2-2t 3）×23 t=23 t×（3 t）（1-t）=2（1-t），同理，
∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴有EGQP=BEBQ，
∴EG=PQ·BEBQ=（-t2-2t 3）×21-t=21-t×（-t2-2t 3）=2（t 3），∴EF EG=2（1-t） 2（t 3）=8。
学生己：EF EG是定值，且EF EG=8，理由如下：已知点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），当点P与点C重合时，有P（0，3），设直线AP的解析式为y=kx b，将A（-3，0），P（0，3）代入解析式得：
0=-3k b，3=0×k b，解得k=1，b=3，∴直线AP的解析式为y=x 3。
∵直线AP与直线DE交于点F，则点F的横坐标为-1，则有y=-1 3=2，F（-1，2），∴EF=2。
设直线BP的解析式为y=kx b，将B（1，0），P（0，3）代入解析式得：0=1×k b，3=0×k b，解得k=-3，b=3∴直线BP的解析式为y=-3x 3。
∵直线BP与直线DE交于点G，则点G的横坐标为-1，则有y=-3×（-1） 3=6，G（-1，6），∴EG=6。
∴EF EG=2 6=8，则当点P是抛物线上除点C外的B、D两点间的一个动点时，也会有EF EG=2 6=8。
点评：学生戊的思路极其清晰，在找不到其他解题方法的情况下画了一条关键的辅助线PQ，以至于能顺利地找到了两组相似三角形，再利用相似三角形的对应线段成比例的关系算出了EF和EG的值，最后得到EF EG=2（1-t） 2（t 3）=8。每一步骤都能以数学知识为依据，层层递进，加上自身运算能力强，最后得到正确答案也是意料之中的事。而学生己一开始想以特殊点为突破口——当点P与点C重合时，顺利算出F（-1，2），G（-1，6）得到EF=2，EG=6，EF EG=2 6=8，最后的解释“则当点P是抛物线上除点C外的B、D两点间的一个动点时，也会有EF EG=2 6=8。”在这里，学生己太想当然了，在没有任何数学知识为依据的前提下，将特殊情况错误地过渡到一般情况，这点在数学领域是说不通的。如果学生写到这里后认真地寻找数学依据，经分析后一定会发现思路出现了严重的漏洞，此时再寻求另一种解题思路也还来得及。所以解题时要有耐心和细心，这两样缺一不可。
三、 深入反思
数学知识有着严密的联系性和严谨的科学性。严密的联系性指的是数学知识是结成网状的知识体系，知识之间相互支撑，相互依托，没有哪些数学知识能独立出来，因为它们是不可分割的。严谨的科学性说明数学知识有极强的逻辑性，它是根据现实社会的需要，并以原来的数学知识为依据而科学地增加。数学压轴题更是很好地印证了这两点。当学生做题时，如果不能找到相关的数学知识为依据，说明学生此时的解题思路很可能存在漏洞，因为正确的解题思路应该是让人感到豁然开朗的，而不是含含糊糊、模糊不清的。当然，在做题时，学生除了要有清晰且严谨的解题思路之外，还需要具备足够的耐心、细心和经验，而这些都需要学生在平时的数学学习中慢慢地去尝试和积累，那么积极分析往年中考数学压轴题的答题情况并总结出原因，这毋庸置疑是一种有效的途径。
作者简介：
叶梦玲，广西壮族自治区南宁市，广西师范学院数学与统计科学学院。
关键词：中考数学；压轴题；分析原因；探路
前段时间，本省各市进行了2018年的中考，因笔者素来就对中考数学压轴题颇感兴趣，便向多方询问了解了许多数学压轴题以及考生的解答情况，其中某市的一道数学压轴题令笔者印象深刻，原因是该压轴题的难度系数不算大，但学生的答题情况却比预期要差许多，笔者想通过此题来认清学生的思维世界，分析学生做错的原因，希望能对学生今后的答题起到切实的指导作用，为初中生今后的中考数学探出一条光明大道。
一、 题目呈现
题目：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 bx c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为（-1，4）。
（1） 求A、B两点的坐标；
（2） 求抛物线的解析式；
（3） 过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由。
二、 分析答情
下面是学生的解答情况：
第（1）问求A、B两点的坐标，学生甲和学生乙给出了不同的答案。
学生甲：∵抛物线y=ax2 bx c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，∴A点坐标为（-3，0），B点的坐标为（1，0）。
学生乙：A（1，0），B（-3，0）。
点评：第（1）问真的算得上是送分题，很多学生的解题过程跟学生甲是一样的，因为什么条件得出了什么结论，这样的用法很恰当，思路也非常清晰。令人费解的是到了中考居然还有乙给出的这种答案，原因是学生乙审题过于粗心，没注意题目里已经明确给出条件“A在B的左侧”。每次讲评作业或试卷时，总能听到学生大呼看错题了，错就是错，数学不接受“我本可以”的解释，所以笔者认为细心也是解题能力的一种，学生们应该认真对待每一道题，从“我本可以”转化到“我做到了”的状态。
第（2）问求抛物线的解析式，学生丙和学生丁给出了不同的思路。
学生丙：将（1，0），（-3，0），（0，3）代入解析式y=ax2 bx c，得：
0=a b c，0=9a-3b c，3=0 0 c， 解得
a=-1，b=-2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x 3。
学生丁：设抛物线的解析式为y=a（x 3）（x-1），把点C（0，3）代入该解析式得到3=a×3×（-1），解得a=1，则抛物线的解析式为y=-（x 3）（x-1）=-x2-2x 3。
点评：学生丙的解题一般是考生看到题目后最先想到的方法，直接将抛物线上的三点坐标代入抛物线的解析式，再解三元一次方程组即可。如果学生的运算能力不強，对方程组的解法不熟悉，也不够细心的话就会容易出现错误。如果能像学生丁那样采用设交点式的解析式的方法，这样就减少了计算量，成功率会高许多。这就要求学生在看完题目后耐心思考解题的多种策略，然后认真地选取符合自己能力的解题策略，进而提高做题的成功率。
第（3）问是当点P运动时，EF EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由。学生戊和学生己解题的突破口不同。
学生戊：EF EG是定值，且EF EG=8，理由如下：如图，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，设P（t，-t2-2t 3）则PQ=-t2-2t 3，AQ=3 t，QB=1-t，AE=2，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，
则EFPQ=AEAQ，∴EF=PQ·AEAQ=（-t2-2t 3）×23 t=23 t×（3 t）（1-t）=2（1-t），同理，
∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴有EGQP=BEBQ，
∴EG=PQ·BEBQ=（-t2-2t 3）×21-t=21-t×（-t2-2t 3）=2（t 3），∴EF EG=2（1-t） 2（t 3）=8。
学生己：EF EG是定值，且EF EG=8，理由如下：已知点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），当点P与点C重合时，有P（0，3），设直线AP的解析式为y=kx b，将A（-3，0），P（0，3）代入解析式得：
0=-3k b，3=0×k b，解得k=1，b=3，∴直线AP的解析式为y=x 3。
∵直线AP与直线DE交于点F，则点F的横坐标为-1，则有y=-1 3=2，F（-1，2），∴EF=2。
设直线BP的解析式为y=kx b，将B（1，0），P（0，3）代入解析式得：0=1×k b，3=0×k b，解得k=-3，b=3∴直线BP的解析式为y=-3x 3。
∵直线BP与直线DE交于点G，则点G的横坐标为-1，则有y=-3×（-1） 3=6，G（-1，6），∴EG=6。
∴EF EG=2 6=8，则当点P是抛物线上除点C外的B、D两点间的一个动点时，也会有EF EG=2 6=8。
点评：学生戊的思路极其清晰，在找不到其他解题方法的情况下画了一条关键的辅助线PQ，以至于能顺利地找到了两组相似三角形，再利用相似三角形的对应线段成比例的关系算出了EF和EG的值，最后得到EF EG=2（1-t） 2（t 3）=8。每一步骤都能以数学知识为依据，层层递进，加上自身运算能力强，最后得到正确答案也是意料之中的事。而学生己一开始想以特殊点为突破口——当点P与点C重合时，顺利算出F（-1，2），G（-1，6）得到EF=2，EG=6，EF EG=2 6=8，最后的解释“则当点P是抛物线上除点C外的B、D两点间的一个动点时，也会有EF EG=2 6=8。”在这里，学生己太想当然了，在没有任何数学知识为依据的前提下，将特殊情况错误地过渡到一般情况，这点在数学领域是说不通的。如果学生写到这里后认真地寻找数学依据，经分析后一定会发现思路出现了严重的漏洞，此时再寻求另一种解题思路也还来得及。所以解题时要有耐心和细心，这两样缺一不可。
三、 深入反思
数学知识有着严密的联系性和严谨的科学性。严密的联系性指的是数学知识是结成网状的知识体系，知识之间相互支撑，相互依托，没有哪些数学知识能独立出来，因为它们是不可分割的。严谨的科学性说明数学知识有极强的逻辑性，它是根据现实社会的需要，并以原来的数学知识为依据而科学地增加。数学压轴题更是很好地印证了这两点。当学生做题时，如果不能找到相关的数学知识为依据，说明学生此时的解题思路很可能存在漏洞，因为正确的解题思路应该是让人感到豁然开朗的，而不是含含糊糊、模糊不清的。当然，在做题时，学生除了要有清晰且严谨的解题思路之外，还需要具备足够的耐心、细心和经验，而这些都需要学生在平时的数学学习中慢慢地去尝试和积累，那么积极分析往年中考数学压轴题的答题情况并总结出原因，这毋庸置疑是一种有效的途径。
作者简介：
叶梦玲，广西壮族自治区南宁市，广西师范学院数学与统计科学学院。