[摘要] 针对当增加节点时Lagrange插值多项式问题,探讨了Lagrange插值多项式的承袭性。经过对n阶Lagrange插值多项式与n+1阶Lagrange插值多项式的研究,得出n+1阶Lagrange插值多项式也具有一定的承袭性。从而在计算n+1阶Lagrange插值多项式时能够使用原n阶Lagrange插值多项式的数据来进行。
　　[关键词] Lagrange插值多项式Newton插值多项式承袭性
　　
　　对于给定的n+1个节点,要构造其插值多项式,主要有Lagrange插值法和Newton插值法。Lagrange插值多项式具有结构紧凑,便于编程计算,占用内存小。但在很多教科书中都说其缺点为:在计算过程中,若需要改变节点或增加节点时,必须全部重新计算,得出Lagrange插值多项式在实际计算中是很不方便的结论。并介绍了另一种插值多项式——Newton插值多项式[1-4]。
　　Newton插值多项式的最大特点就是具有承袭性,即新的Newton插值多项式只是在原Newton插值多项式的基础上增加一项。那么Lagrange插值多项式是否也具有这个性质呢?依参考文献[1-4]讲是没有的。但经笔者研究,认为Lagrange插值多项式还是有一定的承袭性的。
　　当增加节点时,Newton插值多项式具有承袭性,但Lagrange插值多项式也不是必须全部重新计算。
　　由n次Lagrange插值多项式,有
　　
　　
　　当增加一个节点xn+1(及函数值yn+1)时(不是改变节点),得n+1次Lagrange插值多项式
　　
　　经过比较可以发现Ln+1(x)不是只比Ln(x)多一项,可写成
　　
　　也就是当增加一个节点xn+1(及函数值yn+1)时,原Lagrange插值多项式的各项中的yklk(x),k=0,1,2,…,n是无须重新计算的,只要相应地乘上作和,再加上一项
　　即得n+1次Lagrange插值多项式。
　　注 无论Lagrange插值多项式还是Newton插值多项式,当节点改变(而不是仅仅增加或减少节点)时,都须全部重新计算或转化为增加(或减少)节点情况计算。
　　Lagrange插值多项式具有结构紧凑,便于编程计算,这样只要将yklk(x),k=0,1,2,…,n存入计算机中,当增加节点时,就可直接利用yklk(x),k=0,1,2,…,n去计算,占用内存较少。而用Newton插值多项式时,就需将差商表也要存入计算机内存中,程序编制较复杂。当增加节点时,还要增大差商表,这是Newton插值多项式的不便之处。
　　例 利用在x=1000,1331,1728,2197点给出的三阶Lagrange插值多项式。当增加节点x=2744时,写出的四阶Lagrange插值多项式。并计算的近似值。
　　解:依题意x0=1000,y0=10;x1=1331,y1=11;x2=1728,y2=12;x3=2197,y3=13.的三阶Lagrange插值多项式为
　　
　　所以=
　　
　　=1.24282-5.17954+11.66753+4.86579=12.59660
　　当增加节点x4=2744(y4=14)时,的四阶Lagrange插值多项式为
　　
　　所以 =1.24282×-5.17954×+11.66753×+4.86579×+14×=1.24282×0.42661-5.17954×0.52654+11.66753×0.73228+4.86579×1.36015+14×(-0.02618)
　　=0.53020-2.72723+8.54390+6.61820-0.36652
　　=12.59855
　　其精确值为 =12.59921……。
　　
　　参考文献:
　　[1] 张铁,闫家斌.数值分析[M].北京:冶金工业出版社,2001.
　　[2] 同济大学计算数学教研室.数值分析基础[M].上海:同济大学出版社,1998.
　　[3] 验完利,牛庆银,董玉才,等. 数值分析教程[M]. 北京:国防工业出版社,2002.
　　[4] 孙志忠,袁慰平,闻震初. 数值分析[M].南京:东南大学出版社,2002.