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【摘 要】“以学定教”已成为当前小学数学教学改革的主流趋势，教师在教学中有效把握学生的学习起点，充分挖掘课堂生本资源，促进学生能力发展，这成为了衡量课堂教学有效性的重要标志。以“不规则图形面积解决问题”的前置教学尝试为例，教师可以让学生经历“不会估算”到“创造性估算”，从“不愿估算”到“喜欢估算”，注重强化儿童对知识应用与拓展的过程体验，以实现教学创新和学生能力的培养。
【关键词】以学定教 课前预学 起点 解决问题
一、问题缘起
（一）教材分析带来的困惑
“不规则图形面积解决问题”（以下简称“问题”）是人教版教材五年级上册第六单元的内容。从单元的知识体系上来讲，它是在学生学习了平行四边形、三角形、梯形以及组合图形的面积计算以后，知识应用综合性较强的一节课。
长久以来，小学数学几何图形面积计算的对象都是规则的平面图形，注重公式的推导和应用。相对而言，弱化了对估算意识和发散性思维能力的培养。作为教材的新增内容，学生的学习虽然通过平面图形面积的系列研究，已具备了丰富的数格、剪拼、图画、割补等操作技能和经验，在解决问题过程中逐渐形成了精确计算的意识和习惯，但对估算却显得不置可否。如何通过“问题”的学习，让学生经历“不会估算”到“创造性估算”，从“不愿估算”到“喜欢估算”，经历知识的应用和拓展的过程？
（二）经典引入引发的悖论
结合教材，本课教学时多数教师采用对比引入的方法展开教学。先回顾本单元已学的知识，然后出示例题和已学的求规则图形的面积进行对比，思考如何研究？由于例题中的树叶是有格子图作为背景的，学生只能想到数格子的方法，但对于为什么要用格子图？采用怎样的格子图？除了数格子以外还有没有其他的方法？上述引入很难激发学生的思考，无法培养学生解决问题的创造性。
（三）数据调研转变的观念
教要从学习起点的发现开始， 那学生是怎样估计树叶面积的呢？为了更清楚地了解学生的学习起点，笔者对本校学生进行了前测调查。调查总人数92人，75人会估计；其中65人是合理估计；合理估计的学生中还分别采用了不同的方法进行估计。通过前测，我们发现学生已有了丰富的学习经验，但估计的能力有强有弱。
基于以上前测分析，该内容教学尝试采用“前置学习”的课堂导学新样式的研究，设计了前置学习卡片，运用前置学习卡片带动学生有思考性的学习。
二、教学改进
（一）有目标：在前置学习中互补受益
前置学习可以呈现学生独立预学能够达到的基本水平与差异状况，为教师的课堂指导提供依据；能让学生更好地“有准备”地投入学习，伴随着更高的心理预期到课堂上去解决更为困难或重要的问题。
1.任务驱动——估树叶面积
前測中已知多数学生会利用已学的知识进行估算，时间充裕的前提下学生会有多种估算方法。设计好预学单后，笔者又对三个学校六个班级的学生进行了预学卡片完成情况的调查，发现对这片树叶面积的估算，学生花费的时间大约在20分钟。
2.多元表征——标画写方法
预学卡片的设计要实现“低要求”，通过给学生提供多元的支持，让每一个学生都能够在这个过程有自己的表达和思考。“标一标”“画一画”“写一写”这些具体的操作指导，让每一个学生都能在这张预学卡片中写点什么，做点什么。
3.分门别类——解决或反思
面对新的问题，会有部分学生无法解决。对于无法独立估计这片树叶的面积的学生，可以让他写一写不能解决的原因。
（二）有主题：在问题驱动下聚焦研讨
1.求同定范围
关于这片树叶的面积，全班43人估计出来最小的面积是12.6平方厘米、最大的面积是52.12平方厘米，除了这两个之外，还有各种各样的数据。同样的一片树叶，预学估计出来的结果是五花八门的。结合这样的预学情况，教师课前将学生的方法进行了梳理，并选择了一些能代表全班学生学习情况的作品。借助数轴和图形，学生不难发现树叶的面积在估大了的和估小的图形面积之间。
2.求异找共性
【教学片段】
生：这位同学在研究这片树叶的面积时是用数格子的方法，数的时候分成了两个部分，一部分是“满格”，另一部分是“不满格”。
师：不满格的是怎么处理的呢？
生：不满格的我们想办法把它拼成满格的，来进行估计。
师：而这样的一格就是大家所熟悉的面积单位1平方厘米。
生：这两种方法都是把树叶估成了一个基本图形来估计的。
师：明明不是一个长方形，为什么可以看成一个近似的长方形呢？
生：通过移多补少把多出来的部分拼到空缺的地方。
师：为什么要分割成这么多三角形？我要采访一下这幅作品的作者。
生：虽然比较花时间，但能帮助我们估计得更准确。
师：这个方法是把树叶看成了“组合图形”，然后分割成几个基本图形。 ]
在上述教学片段中，立足学生的学习起点，充分交流估计的方法。通过追问：“不满格”的怎么办？为什么可以看成近似的长方形？为什么要分割成这么多三角形？学生观察、思考后，“蓦然”发现：这三种方法都是把不规则的图形转化为规则的图形进行估计的。通过课堂上师生、生生的互动，充分激活了学生“数”“摆”“割”等丰富的活动经验，弥合了思维和探究方法的断层。
（三）有方法：在练习改进中突破经验
1.举一反三
学生既要会解决问题，更要学会提出问题。回顾本课后问学生有什么收获，还有什么问题。学生会提出：如果是更加不规则的图形怎么办呢？因此，在练习中我们就设计了不同层次的图形估算题。比较容易看成基本图形的一类，可让学生自己测量后计算；很不规则的一类，提供方格图帮助学生自行解决。学生可根据自身的情况选择其中的两题进行练习。 2.触类旁通
【教学片段】
师：现实生活中的物体表面到底是不规则的多？还是规则的多？除了不规则的树叶，还有不规则的什么？
师：其实在我们身上也有很多不规则的表面，（师伸出手掌、抬脚）你对哪一个感兴趣？请您选择一个感兴趣的问题和同桌一起研究。
此环节探讨如何使用已学过的数學知识和面积标准问题，解决非标准面积问题，让学生相信一切非标准面积问题都可以用现有的数学面积知识加以解决，体会非标准面积问题解决思路的多样性、不同方法及其局限性。
3.学以致用
【教学片段】
师：生活中还有一些物体的表面非常大，比如我们杭州西湖水域的表面，你还能描下来？还能印到纸上去吗？你会怎么估？
师：老师在谷歌地图上找来了俯视图，现在你会了吗？
生：还可以把它等比例画成简笔画再估。
三、思考延伸
（一）从儿童的视角拓宽途径——变“成人化”为“儿童化”
教要从学习起点的发现开始，起点不是一个定点，它是动态生成的。因此，教师的教与儿童的经验关联、与儿童的需要关联、与儿童的发展关联。需要是儿童所有言行的基本动力，也是促进其行为活动的内在动力源泉。本课教学中力图将儿童的知识、经验和学习的内在积极性都当成了教学资源，设计了相对开放的环节，让学生通过自主探究、合作交流、解决问题的学习方式，经历了解决问题的全过程。
（二）从教师的视角变革方式——变“灌溉式”为“浸润式”
一个学科的主导价值并不在它的事实知识和原理，而是它对一整套知识的系统思维方式——它的形式与联系、未解决的问题、探求的方法、完善人类的欲望以及看待现象的特殊方式。有些人可以凭借重复思维来解决标准问题，甚至是复杂的标准问题。他们需要做的仅仅是将信息填入公式，然后进行惯常的计算。但由于缺乏数学思维，这样的人很难处理非标准问题，更不用提对这一学科的发展做贡献了。我们的教学要变“灌溉式”为“浸润式”，推动学生创新能力的培养。
（三）从思想的视角完善机制——变“零散性”为“系统性”
这个内容是我们学习第六单元多边形的面积时的最后一个内容，一开始学习了平行四边形的面积，把它转化成三年级的长方形；三角形的面积转化成长方形或平行四边形的面积；梯形转化为已学过的图形；组合图形通过割拼也转化成规则图形，不规则的估成规则的。整个单元的学习都是不断地把新的东西转化成已学过的，不断地把不规则的转化成规则的。
“不规则图形的面积解决问题”就是这样一个解决非标准面积的问题，在解决“树叶有多大”这个问题时，我们经过前测，了解学生的起点；充分根据学生的学情，设计了相对开放的环节，让学生自主探究、合作交流、解决问题，经历了解决问题的全过程。学生的每段经历都被视为与知识的碰撞，教学过程中把学生当成一种“活”的资源，他们的知识、经验和学习的内在积极性都当成了教学资源并鼓励学生相信自己有能力质疑、批判。总之，教师的教导从学生的学习起点出发，这样才能更好地培养学生勇于探究、理性思维、合作担当、批判质疑和问题解决的数学学科核心素养。
参考文献：
[1]刘次林.以学定教的实质[J].教育发展研究，2011（4）.
[2]袁晓萍. 以自主丰盈学生的数学学习[J] .小学数学教育，2015（7～8）.
（浙江省杭州市学军小学 310030）
【关键词】以学定教 课前预学 起点 解决问题
一、问题缘起
（一）教材分析带来的困惑
“不规则图形面积解决问题”（以下简称“问题”）是人教版教材五年级上册第六单元的内容。从单元的知识体系上来讲，它是在学生学习了平行四边形、三角形、梯形以及组合图形的面积计算以后，知识应用综合性较强的一节课。
长久以来，小学数学几何图形面积计算的对象都是规则的平面图形，注重公式的推导和应用。相对而言，弱化了对估算意识和发散性思维能力的培养。作为教材的新增内容，学生的学习虽然通过平面图形面积的系列研究，已具备了丰富的数格、剪拼、图画、割补等操作技能和经验，在解决问题过程中逐渐形成了精确计算的意识和习惯，但对估算却显得不置可否。如何通过“问题”的学习，让学生经历“不会估算”到“创造性估算”，从“不愿估算”到“喜欢估算”，经历知识的应用和拓展的过程？
（二）经典引入引发的悖论
结合教材，本课教学时多数教师采用对比引入的方法展开教学。先回顾本单元已学的知识，然后出示例题和已学的求规则图形的面积进行对比，思考如何研究？由于例题中的树叶是有格子图作为背景的，学生只能想到数格子的方法，但对于为什么要用格子图？采用怎样的格子图？除了数格子以外还有没有其他的方法？上述引入很难激发学生的思考，无法培养学生解决问题的创造性。
（三）数据调研转变的观念
教要从学习起点的发现开始， 那学生是怎样估计树叶面积的呢？为了更清楚地了解学生的学习起点，笔者对本校学生进行了前测调查。调查总人数92人，75人会估计；其中65人是合理估计；合理估计的学生中还分别采用了不同的方法进行估计。通过前测，我们发现学生已有了丰富的学习经验，但估计的能力有强有弱。
基于以上前测分析，该内容教学尝试采用“前置学习”的课堂导学新样式的研究，设计了前置学习卡片，运用前置学习卡片带动学生有思考性的学习。
二、教学改进
（一）有目标：在前置学习中互补受益
前置学习可以呈现学生独立预学能够达到的基本水平与差异状况，为教师的课堂指导提供依据；能让学生更好地“有准备”地投入学习，伴随着更高的心理预期到课堂上去解决更为困难或重要的问题。
1.任务驱动——估树叶面积
前測中已知多数学生会利用已学的知识进行估算，时间充裕的前提下学生会有多种估算方法。设计好预学单后，笔者又对三个学校六个班级的学生进行了预学卡片完成情况的调查，发现对这片树叶面积的估算，学生花费的时间大约在20分钟。
2.多元表征——标画写方法
预学卡片的设计要实现“低要求”，通过给学生提供多元的支持，让每一个学生都能够在这个过程有自己的表达和思考。“标一标”“画一画”“写一写”这些具体的操作指导，让每一个学生都能在这张预学卡片中写点什么，做点什么。
3.分门别类——解决或反思
面对新的问题，会有部分学生无法解决。对于无法独立估计这片树叶的面积的学生，可以让他写一写不能解决的原因。
（二）有主题：在问题驱动下聚焦研讨
1.求同定范围
关于这片树叶的面积，全班43人估计出来最小的面积是12.6平方厘米、最大的面积是52.12平方厘米，除了这两个之外，还有各种各样的数据。同样的一片树叶，预学估计出来的结果是五花八门的。结合这样的预学情况，教师课前将学生的方法进行了梳理，并选择了一些能代表全班学生学习情况的作品。借助数轴和图形，学生不难发现树叶的面积在估大了的和估小的图形面积之间。
2.求异找共性
【教学片段】
生：这位同学在研究这片树叶的面积时是用数格子的方法，数的时候分成了两个部分，一部分是“满格”，另一部分是“不满格”。
师：不满格的是怎么处理的呢？
生：不满格的我们想办法把它拼成满格的，来进行估计。
师：而这样的一格就是大家所熟悉的面积单位1平方厘米。
生：这两种方法都是把树叶估成了一个基本图形来估计的。
师：明明不是一个长方形，为什么可以看成一个近似的长方形呢？
生：通过移多补少把多出来的部分拼到空缺的地方。
师：为什么要分割成这么多三角形？我要采访一下这幅作品的作者。
生：虽然比较花时间，但能帮助我们估计得更准确。
师：这个方法是把树叶看成了“组合图形”，然后分割成几个基本图形。 ]
在上述教学片段中，立足学生的学习起点，充分交流估计的方法。通过追问：“不满格”的怎么办？为什么可以看成近似的长方形？为什么要分割成这么多三角形？学生观察、思考后，“蓦然”发现：这三种方法都是把不规则的图形转化为规则的图形进行估计的。通过课堂上师生、生生的互动，充分激活了学生“数”“摆”“割”等丰富的活动经验，弥合了思维和探究方法的断层。
（三）有方法：在练习改进中突破经验
1.举一反三
学生既要会解决问题，更要学会提出问题。回顾本课后问学生有什么收获，还有什么问题。学生会提出：如果是更加不规则的图形怎么办呢？因此，在练习中我们就设计了不同层次的图形估算题。比较容易看成基本图形的一类，可让学生自己测量后计算；很不规则的一类，提供方格图帮助学生自行解决。学生可根据自身的情况选择其中的两题进行练习。 2.触类旁通
【教学片段】
师：现实生活中的物体表面到底是不规则的多？还是规则的多？除了不规则的树叶，还有不规则的什么？
师：其实在我们身上也有很多不规则的表面，（师伸出手掌、抬脚）你对哪一个感兴趣？请您选择一个感兴趣的问题和同桌一起研究。
此环节探讨如何使用已学过的数學知识和面积标准问题，解决非标准面积问题，让学生相信一切非标准面积问题都可以用现有的数学面积知识加以解决，体会非标准面积问题解决思路的多样性、不同方法及其局限性。
3.学以致用
【教学片段】
师：生活中还有一些物体的表面非常大，比如我们杭州西湖水域的表面，你还能描下来？还能印到纸上去吗？你会怎么估？
师：老师在谷歌地图上找来了俯视图，现在你会了吗？
生：还可以把它等比例画成简笔画再估。
三、思考延伸
（一）从儿童的视角拓宽途径——变“成人化”为“儿童化”
教要从学习起点的发现开始，起点不是一个定点，它是动态生成的。因此，教师的教与儿童的经验关联、与儿童的需要关联、与儿童的发展关联。需要是儿童所有言行的基本动力，也是促进其行为活动的内在动力源泉。本课教学中力图将儿童的知识、经验和学习的内在积极性都当成了教学资源，设计了相对开放的环节，让学生通过自主探究、合作交流、解决问题的学习方式，经历了解决问题的全过程。
（二）从教师的视角变革方式——变“灌溉式”为“浸润式”
一个学科的主导价值并不在它的事实知识和原理，而是它对一整套知识的系统思维方式——它的形式与联系、未解决的问题、探求的方法、完善人类的欲望以及看待现象的特殊方式。有些人可以凭借重复思维来解决标准问题，甚至是复杂的标准问题。他们需要做的仅仅是将信息填入公式，然后进行惯常的计算。但由于缺乏数学思维，这样的人很难处理非标准问题，更不用提对这一学科的发展做贡献了。我们的教学要变“灌溉式”为“浸润式”，推动学生创新能力的培养。
（三）从思想的视角完善机制——变“零散性”为“系统性”
这个内容是我们学习第六单元多边形的面积时的最后一个内容，一开始学习了平行四边形的面积，把它转化成三年级的长方形；三角形的面积转化成长方形或平行四边形的面积；梯形转化为已学过的图形；组合图形通过割拼也转化成规则图形，不规则的估成规则的。整个单元的学习都是不断地把新的东西转化成已学过的，不断地把不规则的转化成规则的。
“不规则图形的面积解决问题”就是这样一个解决非标准面积的问题，在解决“树叶有多大”这个问题时，我们经过前测，了解学生的起点；充分根据学生的学情，设计了相对开放的环节，让学生自主探究、合作交流、解决问题，经历了解决问题的全过程。学生的每段经历都被视为与知识的碰撞，教学过程中把学生当成一种“活”的资源，他们的知识、经验和学习的内在积极性都当成了教学资源并鼓励学生相信自己有能力质疑、批判。总之，教师的教导从学生的学习起点出发，这样才能更好地培养学生勇于探究、理性思维、合作担当、批判质疑和问题解决的数学学科核心素养。
参考文献：
[1]刘次林.以学定教的实质[J].教育发展研究，2011（4）.
[2]袁晓萍. 以自主丰盈学生的数学学习[J] .小学数学教育，2015（7～8）.
（浙江省杭州市学军小学 310030）