论文部分内容阅读
【摘要】“数学抽象”是高中数学核心素养的重要内容.高中数学教学，以核心素养为目标和依据着力培养学生的数学抽象能力，需要引导学生积累从具体到抽象的活动经验，使学生深入理解数学概念、命题、方法和体系，通过抽象概括，把握事物的数学本质，逐渐养成一般性思考问题的习惯，并能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题.
【关键词】数学抽象;核心素养;教材;目标;情境;探究;设计意图;反思
《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》中明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面.”其中“数学抽象”是六大核心素养之首，数学抽象一般表现在四个方面：形成数学概念和规则;形成数学命题与模型;形成数学方法与思想;形成数学结构与体系.对普通高中教师来说，如何落实对学生数学抽象素养的形成与发展至关重要，需要教师精心设计教学环节，以核心素养为目标和依据.笔者以形成数学概念为例，选取人教A版高中数学教材必修1第3章第1节第一课时中“方程的根与函数的零点”内容为例，构思基于核心素养视角下的教学设计.
一、背景分析
数学概念的形成过程是最典型的数学抽象过程，在传统教师的概念课中，一般以讲授为主，学生缺乏经历得到完整概念的抽象过程，导致学生的理解停留在表面，后期需要学生经过大量的练习来达到能力的提高.因此，在概念形成之初，就要求教师能够综合运用多种教学方法，通过开展系列问题探究，引导学生主动进行抽象思考，最终概括出数学本质，理解和掌握所要学习的数学概念.
二、教学内容解析
（一）教材地位
本节主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课.本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合能力的基础之上，利用函数图像和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础.因此，本节内容具有承上启下的作用.
（二）教材分析
函数的零点是中学数学的一个重要概念，从函数角度来看，零点是使得函数f（x）等于0时的实数x;从函数图像的角度来看，是函数f（x）与x轴的交点横坐标;从方程的角度来看，是对应方程f（x）=0的实根.函数的零点，将数与形，函数与方程有机地联系起来.作为函数应用的第一节课，学生在了解函数与方程的关系过程中，教材选择了一元二次方程与二次函数作为切入点，再推广到一般方程与相应的函数，教师有必要通过问题的设置，从直观到抽象，从特殊到一般，抽象出所学的零点的概念.
零点存在性定理，就是通过寻找函数的零点来研究方程的根，这个定理不需要证明，在缺少证明的环节下，关键在于让学生结合具体实例，直观感知体验，加强对定理的全面认识，抽象概括出定理，并加以利用来解决问题.对定理的条件和结论，根据以往经验，学生考虑不够全面，教师通过系列问题，从各种角度重新审视，完成函数零点存在的判定定理的构建.
（三）教学目标
1.知识与技能
（1）了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程）说明方程的根、函数的零点、函数图像与x轴的交点三者的关系.
（2）理解函数零点存在性定理;了解图像连续不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点可能不止一个.
（3）能利用函数图像判断某些函数的零点个数及所在区间.
2.过程与方法
经历“构建—反思—完善—总结”数学抽象的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力，体会从特殊到一般的转化的数学思想，体验函数与方程思想及数形结合思想，在数学抽象的过程中，培养学生的数学核心素养.
3.情感态度与价值观
在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，鼓励学生通过观察、类比，提高发现、分析、反思、解决问题的能力.
三、“数学抽象”核心素养视角下的案例分析
（一）创设情境，感知概念
问题1：解方程：2x-4=0;
问题2：作出函数y=2x-4的图像;
问题3：令函数y=2x-4的函数值为0，得x=2，方程的根也是x=2，是巧合还是必然？
（二）探究新知（零点的概念）
问题4：求出下列一元二次方程的根，并作出相应的二次函数的图像.
（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;
（2）方程x2-2x 1=0与函数y=x2-2x 1;
（3）方程x2-2x 3=0与函数y=x2-2x 3.
问题5：对比方程的根与相应的函数与x轴的交点，发现了什么？
（方程的根与函数与x轴的交点的横坐标是一致的）
这个根既有数的意义，又有形的意义，它还有一个名称叫作函数的零点.
问题6：对一般的函数y=f（x），如何定义它的零点？
学生回答：（1）方程f（x）=0的根，叫作函数y=f（x）的零点.
（2）函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标，叫作函数的零点.
两种解答分别从数和形的角度理解了零点的概念，并從中得出零点不是点，而是一个数.
得出结论：
函数零点的定义：对函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点.
设计意图：教师引导学生推出一元一次方程，一元二次方程的根就是对应的一次函数、二次函数的图像与x轴交点的横坐标，得出一般性的结论.对一般式子分析解释，对概念形成系统正确的概念.完成从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程. 问题7：函数零点的求法有哪些？定义法、图像法.
教师引导完成等价关系的知识：
方程f（x）=0的根函数y=f（x）的零点函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标
设计意图：这个过程强化了零点的概念，在强化函数零点的几种等价关系的过程中，对概念的发生和形成过程再次体验，完成对整个数学抽象的过程.
（三）例题巩固
例1 判断函数f（x）=x2-x-1是否存在零点，如果存在，请求出.
设计意图：使学生熟悉定义法与图像法求函数零点，巩固概念的过程中，有一半学生选择图像法（作出二次函数顶点位置和开口方向，得出有两个零点），一半学生选择定义法（即求方程f（x）=0的判别式，得出两个根）.学生在内化过程中自己体验两种方法的优劣，以寻求最合适的方法做题.
（四）探究零点存在性定理
问题8：函数f（x）=x2-x-1在区间（1，2）上存在零点吗？
问题9：函数f（x）=x2-x-1在区间（-1，0）上存在零点吗？
学生根据例1的解题方法，分为两个阵营，利用定义法的同学，已经计算出零点，经过估算得出结论;利用图像法的同学，可以由对称轴x=12，开口向上，通过计算f（1）
【关键词】数学抽象;核心素养;教材;目标;情境;探究;设计意图;反思
《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》中明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面.”其中“数学抽象”是六大核心素养之首，数学抽象一般表现在四个方面：形成数学概念和规则;形成数学命题与模型;形成数学方法与思想;形成数学结构与体系.对普通高中教师来说，如何落实对学生数学抽象素养的形成与发展至关重要，需要教师精心设计教学环节，以核心素养为目标和依据.笔者以形成数学概念为例，选取人教A版高中数学教材必修1第3章第1节第一课时中“方程的根与函数的零点”内容为例，构思基于核心素养视角下的教学设计.
一、背景分析
数学概念的形成过程是最典型的数学抽象过程，在传统教师的概念课中，一般以讲授为主，学生缺乏经历得到完整概念的抽象过程，导致学生的理解停留在表面，后期需要学生经过大量的练习来达到能力的提高.因此，在概念形成之初，就要求教师能够综合运用多种教学方法，通过开展系列问题探究，引导学生主动进行抽象思考，最终概括出数学本质，理解和掌握所要学习的数学概念.
二、教学内容解析
（一）教材地位
本节主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课.本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合能力的基础之上，利用函数图像和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础.因此，本节内容具有承上启下的作用.
（二）教材分析
函数的零点是中学数学的一个重要概念，从函数角度来看，零点是使得函数f（x）等于0时的实数x;从函数图像的角度来看，是函数f（x）与x轴的交点横坐标;从方程的角度来看，是对应方程f（x）=0的实根.函数的零点，将数与形，函数与方程有机地联系起来.作为函数应用的第一节课，学生在了解函数与方程的关系过程中，教材选择了一元二次方程与二次函数作为切入点，再推广到一般方程与相应的函数，教师有必要通过问题的设置，从直观到抽象，从特殊到一般，抽象出所学的零点的概念.
零点存在性定理，就是通过寻找函数的零点来研究方程的根，这个定理不需要证明，在缺少证明的环节下，关键在于让学生结合具体实例，直观感知体验，加强对定理的全面认识，抽象概括出定理，并加以利用来解决问题.对定理的条件和结论，根据以往经验，学生考虑不够全面，教师通过系列问题，从各种角度重新审视，完成函数零点存在的判定定理的构建.
（三）教学目标
1.知识与技能
（1）了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程）说明方程的根、函数的零点、函数图像与x轴的交点三者的关系.
（2）理解函数零点存在性定理;了解图像连续不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点可能不止一个.
（3）能利用函数图像判断某些函数的零点个数及所在区间.
2.过程与方法
经历“构建—反思—完善—总结”数学抽象的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力，体会从特殊到一般的转化的数学思想，体验函数与方程思想及数形结合思想，在数学抽象的过程中，培养学生的数学核心素养.
3.情感态度与价值观
在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，鼓励学生通过观察、类比，提高发现、分析、反思、解决问题的能力.
三、“数学抽象”核心素养视角下的案例分析
（一）创设情境，感知概念
问题1：解方程：2x-4=0;
问题2：作出函数y=2x-4的图像;
问题3：令函数y=2x-4的函数值为0，得x=2，方程的根也是x=2，是巧合还是必然？
（二）探究新知（零点的概念）
问题4：求出下列一元二次方程的根，并作出相应的二次函数的图像.
（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;
（2）方程x2-2x 1=0与函数y=x2-2x 1;
（3）方程x2-2x 3=0与函数y=x2-2x 3.
问题5：对比方程的根与相应的函数与x轴的交点，发现了什么？
（方程的根与函数与x轴的交点的横坐标是一致的）
这个根既有数的意义，又有形的意义，它还有一个名称叫作函数的零点.
问题6：对一般的函数y=f（x），如何定义它的零点？
学生回答：（1）方程f（x）=0的根，叫作函数y=f（x）的零点.
（2）函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标，叫作函数的零点.
两种解答分别从数和形的角度理解了零点的概念，并從中得出零点不是点，而是一个数.
得出结论：
函数零点的定义：对函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点.
设计意图：教师引导学生推出一元一次方程，一元二次方程的根就是对应的一次函数、二次函数的图像与x轴交点的横坐标，得出一般性的结论.对一般式子分析解释，对概念形成系统正确的概念.完成从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程. 问题7：函数零点的求法有哪些？定义法、图像法.
教师引导完成等价关系的知识：
方程f（x）=0的根函数y=f（x）的零点函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标
设计意图：这个过程强化了零点的概念，在强化函数零点的几种等价关系的过程中，对概念的发生和形成过程再次体验，完成对整个数学抽象的过程.
（三）例题巩固
例1 判断函数f（x）=x2-x-1是否存在零点，如果存在，请求出.
设计意图：使学生熟悉定义法与图像法求函数零点，巩固概念的过程中，有一半学生选择图像法（作出二次函数顶点位置和开口方向，得出有两个零点），一半学生选择定义法（即求方程f（x）=0的判别式，得出两个根）.学生在内化过程中自己体验两种方法的优劣，以寻求最合适的方法做题.
（四）探究零点存在性定理
问题8：函数f（x）=x2-x-1在区间（1，2）上存在零点吗？
问题9：函数f（x）=x2-x-1在区间（-1，0）上存在零点吗？
学生根据例1的解题方法，分为两个阵营，利用定义法的同学，已经计算出零点，经过估算得出结论;利用图像法的同学，可以由对称轴x=12，开口向上，通过计算f（1）