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Z老师说：临近中考，同学们希望能对中考的一些热点问题有更多的了解，以提高自己的应对能力.为此，今天我们对“折叠问题”进行剖析.折叠问题是现实生活中一个常见的问题，很多中考试卷涉及折叠问题，其中为压台题的就不少.
折叠作为一个过程，有折前与折后的区分，被折叠的平面图形折前与折后是两个全等的图形，提供了关于边、角的各种等量关系，这是解决折叠问题的第一注意点；其次要注意到这两个全等的图形以折痕为对称轴组成轴对称图形；另外要充分利用已知图形的各种隐含条件.
例1如图1，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上.设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长.
（2007年吉林省中考试题）
小清说：要证明四边形AECG是平行四边形，由于已知图形ABCD是矩形，有CG∥AE，只要证明AG∥CE.为此转为证∠CAG=∠ACE.由于图形折叠，得△CBE≌△CFE,有∠BCE=∠ACE.同理∠DAG=∠CAG.而∠ACE=∠ACB，∠CAG=∠DAC.由AD∥BC，有∠ACB=∠DAC，于是∠CAG=∠ACE，命题得证.
由于△BCE≌△FCE，有CF=BC=3.∠CFE=∠CBE=90°，BE=FE.设EF=x，则BE=x，AE=4-x.注意到ABCD是矩形，由BC=3，AB=4，得AC=5，导出AF=5-3=2.在Rt△AEF中，AE2=EF 2+AF 2，于是（4-x）2=x2+22，得x=（cm）.
与传统的几何题相比，证明结论所需的已知条件，题中并未明确列出，而是需要在解题的过程中自己去挖掘，这就涉及到对隐含条件的取舍问题.我认为，从要证明的结论着手，逐步去探求它成立所需要的条件，这是有效的方法.
Z老师说：小清的分析很好，体会也很实在.过去我们在解题时强调八个字：由因导果，执果索因.在折叠问题解决中，执果索因成为解题的一条主途径.切忌将折叠中所隐含的各种等量关系一一列举，而使解题无从下手.
例2如图2所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（ ）.
（2007年盐城市中考试题）
S同学说：开始我想剪去一角，估计是D.后来我用纸折叠后，撕去一角，展开，发现应是B.
K同学说：我是采用逆向还原，将右折对应于左翻，将上折对应于下翻，选B.
Z老师说：S同学的现场操作，在考试时也是允许的.K同学逆向还原，这种逆推法，我们还在哪里见过？
W同学说：在二次函数的图象中曾遇到.例如，由二次函数y=2(x-3)2-1的图象通过平移作出y=2x2的图象.
Z老师说：利用y=2x2得出y=2(x-3)2-1的图象，这是大家熟悉的，再逆向还原，问题就可顺利解决.请你试一试.
例3已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.
（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图3），AF=，求DE的长；
（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图4），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.
（2006年南京市中考试题）
H同学说：第一小题很容易解决，由折叠知EF=AF=，又DF=AD-AF=.在Rt△DEF中，由勾股定理，求得DE
==.第二小题的解题途径还未找到.
Z老师说：这是南京市中考试卷的最后一题，当然有一定的难度.作为综合题，它涉及到Rt△ADE的外接圆和切线，对此，你联想起什么？
W同学说：确定圆心和切点至关重要.直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，记AE的中点为O，O是折痕FG与AE的交点.⊙O的半径r=OE=AE.过O作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，则M是AD的中点，ON⊥BC.由于BC与⊙O相切，所以ON=OE=r，则OM=2-r.易证O是折痕FG的中点，即OF
=OG.在Rt△AOM中，r2=(2-r)2+，求得r=.在
Rt△ADE中，DE===.由于FO
=OE·tanα=r·=×=，所以FG=2FO=.当然也可由△FOE
∽△ADE导出，但我觉得利用三角函数，解法简明.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
折叠作为一个过程，有折前与折后的区分，被折叠的平面图形折前与折后是两个全等的图形，提供了关于边、角的各种等量关系，这是解决折叠问题的第一注意点；其次要注意到这两个全等的图形以折痕为对称轴组成轴对称图形；另外要充分利用已知图形的各种隐含条件.
例1如图1，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上.设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长.
（2007年吉林省中考试题）
小清说：要证明四边形AECG是平行四边形，由于已知图形ABCD是矩形，有CG∥AE，只要证明AG∥CE.为此转为证∠CAG=∠ACE.由于图形折叠，得△CBE≌△CFE,有∠BCE=∠ACE.同理∠DAG=∠CAG.而∠ACE=∠ACB，∠CAG=∠DAC.由AD∥BC，有∠ACB=∠DAC，于是∠CAG=∠ACE，命题得证.
由于△BCE≌△FCE，有CF=BC=3.∠CFE=∠CBE=90°，BE=FE.设EF=x，则BE=x，AE=4-x.注意到ABCD是矩形，由BC=3，AB=4，得AC=5，导出AF=5-3=2.在Rt△AEF中，AE2=EF 2+AF 2，于是（4-x）2=x2+22，得x=（cm）.
与传统的几何题相比，证明结论所需的已知条件，题中并未明确列出，而是需要在解题的过程中自己去挖掘，这就涉及到对隐含条件的取舍问题.我认为，从要证明的结论着手，逐步去探求它成立所需要的条件，这是有效的方法.
Z老师说：小清的分析很好，体会也很实在.过去我们在解题时强调八个字：由因导果，执果索因.在折叠问题解决中，执果索因成为解题的一条主途径.切忌将折叠中所隐含的各种等量关系一一列举，而使解题无从下手.
例2如图2所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（ ）.
（2007年盐城市中考试题）
S同学说：开始我想剪去一角，估计是D.后来我用纸折叠后，撕去一角，展开，发现应是B.
K同学说：我是采用逆向还原，将右折对应于左翻，将上折对应于下翻，选B.
Z老师说：S同学的现场操作，在考试时也是允许的.K同学逆向还原，这种逆推法，我们还在哪里见过？
W同学说：在二次函数的图象中曾遇到.例如，由二次函数y=2(x-3)2-1的图象通过平移作出y=2x2的图象.
Z老师说：利用y=2x2得出y=2(x-3)2-1的图象，这是大家熟悉的，再逆向还原，问题就可顺利解决.请你试一试.
例3已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.
（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图3），AF=，求DE的长；
（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图4），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.
（2006年南京市中考试题）
H同学说：第一小题很容易解决，由折叠知EF=AF=，又DF=AD-AF=.在Rt△DEF中，由勾股定理，求得DE
==.第二小题的解题途径还未找到.
Z老师说：这是南京市中考试卷的最后一题，当然有一定的难度.作为综合题，它涉及到Rt△ADE的外接圆和切线，对此，你联想起什么？
W同学说：确定圆心和切点至关重要.直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，记AE的中点为O，O是折痕FG与AE的交点.⊙O的半径r=OE=AE.过O作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，则M是AD的中点，ON⊥BC.由于BC与⊙O相切，所以ON=OE=r，则OM=2-r.易证O是折痕FG的中点，即OF
=OG.在Rt△AOM中，r2=(2-r)2+，求得r=.在
Rt△ADE中，DE===.由于FO
=OE·tanα=r·=×=，所以FG=2FO=.当然也可由△FOE
∽△ADE导出，但我觉得利用三角函数，解法简明.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文