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【摘要】教育部制定的《普通高中数学课程标准（实验）》中明确提出了“数学探究”，通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和在教师指导下“再创造”，从而促进学生的学习，发展学生的创新意识.本文通过实践对数学课堂教学中的有效探究活动进行分析和探讨.
【关键词】高中数学；探究式教学；探究式学习
在传统的教学中，教师负责教，学生负责学，教学就是教师对学生单向的“培养”活动，在这样的教学中，学生是被教会，而不是自己学会.《普通高中数学课程标准》强调，学生的数学学习不能只是模仿、记忆、计算等低思维水平的活动，还应当要有动手实践、自主探索、合作交流等高水平的思维活动.在这样的学习中，探究活动确是一种不错的学习方式.探究活动是新课程下一种强调学生自主、积极投身其中的学习方式.突出强调教师应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境及活动，引导学生实践、探索、交流、发现和体验所学内容，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.在新课程标准指导下，新教材中的探究活动则给了我们在数学课堂上的探究学习提供了空间及素材.以下是本人在组织这些探究活动中的一些做法.
1.在组织探究时，根据题目，教给学生探究问题的方法，将“授之以鱼”变为“授之以渔”，即在探究中，不仅要使学生学到知识，还要学生学到方法.
例如在《合情推理》一节有一道例题：由1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25，…能得出怎样的结论？为解决这道题，我先引导学生观察这几个式子具有的特征，由于特征比较明显，学生在教师的引导下较快便能说出这几个式子分别可以叙述成“前2个连续奇数的和等于2的平方”“前3个连续奇数的和等于3的平方”，等等.我再进一步引导：“以此类推，你能得到什么猜想？”这时学生已能马上得到“前n个连续奇数的和等于n的平方，即1+3+5+…+（2n-1）=n2”这样的猜想.得出这个结论后我并没有让这道题就此结束，而是继续引导学生：“对于这道题本身，得到这结论已是足够，但我们知道，由归纳推理得出的结论不一定是可靠的，所以我们若能给出这个结论的证明则更加完美.”对这个结论的证明并不是很困难，于是我让学生自己动手证明.从这个活动中，学生不仅自己完成了一道归纳推理的题目，而且懂得了观察——猜想——证明的研究方法.
2.在组织探究时，有时也可根据题目的难度、学生的实际情况，让学生思考并提出探究的方法，教师帮助学生修正、完善方法，并让学生自己动手尝试.新课程注重让学生在学习过程中体验数学和经历数学，因此，探究教学活动要关注学生个人知识和直接经验，应当赋予学生更多思考、操作和交流的机会.
在《指数与指数幂的运算》一节，课本提出了“等式nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？”的问题，对于这个问题，我先让学生思考片刻，考虑用什么方法进行探究，有的学生提出了能否取值验证.我再问：“那么应取什么值呢？”有一学生回答：“应是具有代表性的值，例如正数、负数.”又有学生补充：“也可取奇数、偶数.”这时我对学生的看法予以肯定并提醒学生：“0是一个较特殊的值，是否也应考虑呢？”之后让学生自己尝试取几组不同的n,a的值验证.当学生发现等式不一定成立时，再问：“有什么规律吗？”于是学生观察自己所取的值，并分组讨论交流得到“当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，nan=|a|=a,a≥0,
-a,a<0”的结论.在这一过程中，学生在探究中学到知识，既印象深刻，又尝到了成功的喜悦.
3.在组织探究时，通过鼓励学生一题多解并勇敢提出自己的看法，培养学生的开放性思维和创新精神.《普通高中数学课程标准》明确指出：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.
例如有这样一道题：已知数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…则数列的第k项是.对于这道题，我让学生自己找规律并发表意见.思考片刻后有一学生回答：可以看每项的第一个数1，a，a2，a3，…发现每项的第一个数都为a的幂，且指数为项数减去1，则第k项的第一个数应为ak-1，而共k个数相加，故第k项为ak-1+ak+…+a2k-2.这时另一学生得到启发，提出可以看第一个数那是否可以看每一项的最后一个数1，a2，a4，a6，…的看法，我对他的看法表示肯定，并鼓励他按这种思路继续思考下去，最后他发现这些数的指数均为偶数且都为项数的2倍减去2，所以第k项的最后一个数应为a2k-2，且共k个数相加，故第k项为ak-1+ak+…+a2k-2.到了这里学生的发言停了下来，显然学生没有找到新的规律了，我便提示：大家看一下指数与项数有何关系？学生按这个方向去找，也有学生提出了看法：这个数列每一项的项数刚好是第2个数的指数，说明第k项的第2个数应为ak，由此也可得出正确答案.从这道题的教学中学生的思维得到了发展，也无形中对学生的创新精神的培养起到一点作用.
而一些开放题也是培养学生创新精神的好素材.在《直线的参数方程》一节有一道探究题：若过定点M0(x0,y0)，倾斜角为α的直线x=x0+tcosα，
y=y0+tsinα（t为参数）与曲线y=f(x)相交于M1,M2两点，它们对应的参数分别为t1，t2，（1）弦长|M1M2|为多少？（2）若点M为线段M1M2的中点，则点M对应的参数是什么？（3）你还能提出和解决哪些问题？此题的第（3）小题就是一道开放题，对这道题我并没有轻易放过，而是布置学生课后思考并写成作业上交.学生在作业中提出了各种各样的想法，如“|M0M1|，|M0M2|的积、商是什么？”“线段M0M1，M0M2的中点对应的参数分别是什么？”“线段M1M2的三等分点对应的参数是什么？”甚至有的学生提出“线段M1M2的n等分点对应的参数是什么？”的问题，并都很好地解决.从中可以看出学生的思维非常活跃.
4.在组织探究时，适时地运用信息技术，把信息技术作为一种让学生主动探究、分析研究的工具，鼓励学生采用现代的科学技术手段去探究、发现和创造.《算法》这一章的学习恰好为学生提供这么一个学习探究的平台.
学生在学习循环语句两种语句结构——当型（WHILE语句）和直到型（UNTIL语句）时，总会混淆两种语句，特别是两种语句中要满足的条件部分总要搞错.如要求用UNTIL语句编写计算机程序来计算1+2+3+…+100的值时，总有学生将程序写成以下形式：
在这个程序中，显然LOOPUNTIL后的条件写错了，应为i>100.为解决这个问题，我让学生上机操作，将以上的程序在计算机上运行，这时学生会发现运行的结果是1，这显然是错误的.然后要求学生回忆两种语句的区别：WHILE语句是先判断条件的真假，若条件真则执行循环体，否则退出循环体；而UNTIL语句是先执行循环体，再判断条件的真假，若条件为真则退出循环体，否则再次执行循环体，直到条件为真.所以以上程序会先执行循环体，此时sum=1,i=2，再判断条件i≤100是否为真，显然2≤100为真，于是退出循环体执行输出语句，因此输出结果为1.而要计算出正确答案，必须在计数变量i超过100之后才能退出循环体，那么只需修改LOOP UNTIL后面的条件即可.于是我要求学生修改后再上机验证，然后用WHILE语句编出程序再上机验证，并与UNTIL语句对比，弄懂两者的区别.经过这一过程的学习，学生印象深刻，对两种语句的区别理解得更透彻，以后也就不易再犯这样的错误了.
而在整个编程的学习中，学生在设计一个算法时，可以让学生边编程边上机验证边修改完善，让学生可以及时看到自己设计的算法的可行性、有效性，这不但可以很好地激发学生的兴趣，而且能提高学习效果.
与信息技术的整合不仅应用于《算法》一章，在其他章节的组织探究中同样可以应用.如在讲指数、对数函数的性质时，可以用几何画板画出图像，让学生观察图像猜想性质并动手操作验证.又如在讲圆锥曲线时，可用几何画板展示圆锥曲线的形成过程，让学生印象深刻.再如讲渐开线与摆线时，可应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美.
5.在组织探究时，指导学生制作传统的教具和模型，再利用它们的直观性来对立体几何问题进行探究，同样具有简易、直观的特点.这有利于培养学生掌握从直观到抽象，从特殊到一般的探究、推理、证明的方法.
例如在学习《几何体的表面积》一节时，让学生在课前先做几何体的模型，上课时让学生沿着模型一边展开得到几何体的展开图，那么如何计算几何体的表面积就一目了然了.而对于立体几何中的点、线、面的位置关系，可让学生用纸板代表平面，钢线代表直线，根据题意放置纸板及铅笔，那么它们的关系就直观地出现在眼前了.
再如在探究直线与平面垂直的判定定理时，我让学生准备一张三角形纸片做课本的试验：如图，过△ABC的顶点A随意翻折纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（即BD，DC与桌面接触），观察折痕AD是否与桌面垂直，并思考应怎样翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直.从这个试验中，学生不难得到线面垂直的判定定理，这比起直接告诉学生结论有更好的教学效果.
6.在组织探究时，教师根据探究题目，事先精心设计一系列问题，组织学生依次逐步深入探究，使探究活动更加有的放矢，有序和有层次化.
在解决《两条直线的交点坐标》一节中的探究问题“当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？”时，我设计了一系列问题：
①当λ=1时，方程表示什么图形？
②当λ=-1，λ=-2，λ=0，λ=2，λ=3时呢？
③把这些图形画在同一个直角坐标系中，你发现了什么？
④这些直线所过的点是一个具有什么特点的点？
⑤当λ取其他值时，也有这样的结论吗？
⑥你能证明你的结论吗？
学生按照这几个问题依次探究，那么“当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示无数条经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点的直线”这个结论的得到就显得顺理成章了.
7.在组织探究时，要求学生以小组为单位在课后进行探究，然后写成一篇小论文.从中培养学生搜集和处理信息的能力以及创新能力，又培养了学生乐于探究、团结协作的精神.
对“反函数”这个知识点，教材并没有深入研究，只是在学习了指数函数与对数函数后指出它们互为反函数，那么两个互为反函数的函数的图像之间有什么关系呢？课本出现这样一道“探究与发现”的题目——互为反函数的两个函数图像之间的关系.对于这个题目我是这样处理的，先把学生分成若干个小组，让他们先搜集查找相关资料，再根据课本提出的问题依次探究解决，逐步深入地探究，从而得到结论，并写成一篇小论文.而教师则鼓励学生大胆创新，多举实例，说明结论.在此过程中，学生有分工有合作，互相学习，互相取长补短，互相促进，使学生更加团结一致.从学生上交的论文来看，虽然仍显稚嫩，但看得出学生确实是投入了精力去完成这项探究任务的.
总而言之，让学生在课堂上进行自主的探究，能激发学生学习探索的兴趣及欲望，能使课堂变得更活跃于师生的互动中，能提高教师的教学及学生的学习效果.
【参考文献】
［1］白海龙.刍议数学课堂教学中的探究活动［J］.新课程(上)，2011（1）：124.
［2］陶晶.如何增强高中数学课堂探究活动的有效性［J］.科教新报(教育科研)，2010（39）：172.
［3］中华人民共和国教育部制订《普通高中数学课程标准》［M］.北京:人民教育出版社,2003.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】高中数学；探究式教学；探究式学习
在传统的教学中，教师负责教，学生负责学，教学就是教师对学生单向的“培养”活动，在这样的教学中，学生是被教会，而不是自己学会.《普通高中数学课程标准》强调，学生的数学学习不能只是模仿、记忆、计算等低思维水平的活动，还应当要有动手实践、自主探索、合作交流等高水平的思维活动.在这样的学习中，探究活动确是一种不错的学习方式.探究活动是新课程下一种强调学生自主、积极投身其中的学习方式.突出强调教师应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境及活动，引导学生实践、探索、交流、发现和体验所学内容，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.在新课程标准指导下，新教材中的探究活动则给了我们在数学课堂上的探究学习提供了空间及素材.以下是本人在组织这些探究活动中的一些做法.
1.在组织探究时，根据题目，教给学生探究问题的方法，将“授之以鱼”变为“授之以渔”，即在探究中，不仅要使学生学到知识，还要学生学到方法.
例如在《合情推理》一节有一道例题：由1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25，…能得出怎样的结论？为解决这道题，我先引导学生观察这几个式子具有的特征，由于特征比较明显，学生在教师的引导下较快便能说出这几个式子分别可以叙述成“前2个连续奇数的和等于2的平方”“前3个连续奇数的和等于3的平方”，等等.我再进一步引导：“以此类推，你能得到什么猜想？”这时学生已能马上得到“前n个连续奇数的和等于n的平方，即1+3+5+…+（2n-1）=n2”这样的猜想.得出这个结论后我并没有让这道题就此结束，而是继续引导学生：“对于这道题本身，得到这结论已是足够，但我们知道，由归纳推理得出的结论不一定是可靠的，所以我们若能给出这个结论的证明则更加完美.”对这个结论的证明并不是很困难，于是我让学生自己动手证明.从这个活动中，学生不仅自己完成了一道归纳推理的题目，而且懂得了观察——猜想——证明的研究方法.
2.在组织探究时，有时也可根据题目的难度、学生的实际情况，让学生思考并提出探究的方法，教师帮助学生修正、完善方法，并让学生自己动手尝试.新课程注重让学生在学习过程中体验数学和经历数学，因此，探究教学活动要关注学生个人知识和直接经验，应当赋予学生更多思考、操作和交流的机会.
在《指数与指数幂的运算》一节，课本提出了“等式nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？”的问题，对于这个问题，我先让学生思考片刻，考虑用什么方法进行探究，有的学生提出了能否取值验证.我再问：“那么应取什么值呢？”有一学生回答：“应是具有代表性的值，例如正数、负数.”又有学生补充：“也可取奇数、偶数.”这时我对学生的看法予以肯定并提醒学生：“0是一个较特殊的值，是否也应考虑呢？”之后让学生自己尝试取几组不同的n,a的值验证.当学生发现等式不一定成立时，再问：“有什么规律吗？”于是学生观察自己所取的值，并分组讨论交流得到“当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，nan=|a|=a,a≥0,
-a,a<0”的结论.在这一过程中，学生在探究中学到知识，既印象深刻，又尝到了成功的喜悦.
3.在组织探究时，通过鼓励学生一题多解并勇敢提出自己的看法，培养学生的开放性思维和创新精神.《普通高中数学课程标准》明确指出：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.
例如有这样一道题：已知数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…则数列的第k项是.对于这道题，我让学生自己找规律并发表意见.思考片刻后有一学生回答：可以看每项的第一个数1，a，a2，a3，…发现每项的第一个数都为a的幂，且指数为项数减去1，则第k项的第一个数应为ak-1，而共k个数相加，故第k项为ak-1+ak+…+a2k-2.这时另一学生得到启发，提出可以看第一个数那是否可以看每一项的最后一个数1，a2，a4，a6，…的看法，我对他的看法表示肯定，并鼓励他按这种思路继续思考下去，最后他发现这些数的指数均为偶数且都为项数的2倍减去2，所以第k项的最后一个数应为a2k-2，且共k个数相加，故第k项为ak-1+ak+…+a2k-2.到了这里学生的发言停了下来，显然学生没有找到新的规律了，我便提示：大家看一下指数与项数有何关系？学生按这个方向去找，也有学生提出了看法：这个数列每一项的项数刚好是第2个数的指数，说明第k项的第2个数应为ak，由此也可得出正确答案.从这道题的教学中学生的思维得到了发展，也无形中对学生的创新精神的培养起到一点作用.
而一些开放题也是培养学生创新精神的好素材.在《直线的参数方程》一节有一道探究题：若过定点M0(x0,y0)，倾斜角为α的直线x=x0+tcosα，
y=y0+tsinα（t为参数）与曲线y=f(x)相交于M1,M2两点，它们对应的参数分别为t1，t2，（1）弦长|M1M2|为多少？（2）若点M为线段M1M2的中点，则点M对应的参数是什么？（3）你还能提出和解决哪些问题？此题的第（3）小题就是一道开放题，对这道题我并没有轻易放过，而是布置学生课后思考并写成作业上交.学生在作业中提出了各种各样的想法，如“|M0M1|，|M0M2|的积、商是什么？”“线段M0M1，M0M2的中点对应的参数分别是什么？”“线段M1M2的三等分点对应的参数是什么？”甚至有的学生提出“线段M1M2的n等分点对应的参数是什么？”的问题，并都很好地解决.从中可以看出学生的思维非常活跃.
4.在组织探究时，适时地运用信息技术，把信息技术作为一种让学生主动探究、分析研究的工具，鼓励学生采用现代的科学技术手段去探究、发现和创造.《算法》这一章的学习恰好为学生提供这么一个学习探究的平台.
学生在学习循环语句两种语句结构——当型（WHILE语句）和直到型（UNTIL语句）时，总会混淆两种语句，特别是两种语句中要满足的条件部分总要搞错.如要求用UNTIL语句编写计算机程序来计算1+2+3+…+100的值时，总有学生将程序写成以下形式：
在这个程序中，显然LOOPUNTIL后的条件写错了，应为i>100.为解决这个问题，我让学生上机操作，将以上的程序在计算机上运行，这时学生会发现运行的结果是1，这显然是错误的.然后要求学生回忆两种语句的区别：WHILE语句是先判断条件的真假，若条件真则执行循环体，否则退出循环体；而UNTIL语句是先执行循环体，再判断条件的真假，若条件为真则退出循环体，否则再次执行循环体，直到条件为真.所以以上程序会先执行循环体，此时sum=1,i=2，再判断条件i≤100是否为真，显然2≤100为真，于是退出循环体执行输出语句，因此输出结果为1.而要计算出正确答案，必须在计数变量i超过100之后才能退出循环体，那么只需修改LOOP UNTIL后面的条件即可.于是我要求学生修改后再上机验证，然后用WHILE语句编出程序再上机验证，并与UNTIL语句对比，弄懂两者的区别.经过这一过程的学习，学生印象深刻，对两种语句的区别理解得更透彻，以后也就不易再犯这样的错误了.
而在整个编程的学习中，学生在设计一个算法时，可以让学生边编程边上机验证边修改完善，让学生可以及时看到自己设计的算法的可行性、有效性，这不但可以很好地激发学生的兴趣，而且能提高学习效果.
与信息技术的整合不仅应用于《算法》一章，在其他章节的组织探究中同样可以应用.如在讲指数、对数函数的性质时，可以用几何画板画出图像，让学生观察图像猜想性质并动手操作验证.又如在讲圆锥曲线时，可用几何画板展示圆锥曲线的形成过程，让学生印象深刻.再如讲渐开线与摆线时，可应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美.
5.在组织探究时，指导学生制作传统的教具和模型，再利用它们的直观性来对立体几何问题进行探究，同样具有简易、直观的特点.这有利于培养学生掌握从直观到抽象，从特殊到一般的探究、推理、证明的方法.
例如在学习《几何体的表面积》一节时，让学生在课前先做几何体的模型，上课时让学生沿着模型一边展开得到几何体的展开图，那么如何计算几何体的表面积就一目了然了.而对于立体几何中的点、线、面的位置关系，可让学生用纸板代表平面，钢线代表直线，根据题意放置纸板及铅笔，那么它们的关系就直观地出现在眼前了.
再如在探究直线与平面垂直的判定定理时，我让学生准备一张三角形纸片做课本的试验：如图，过△ABC的顶点A随意翻折纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（即BD，DC与桌面接触），观察折痕AD是否与桌面垂直，并思考应怎样翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直.从这个试验中，学生不难得到线面垂直的判定定理，这比起直接告诉学生结论有更好的教学效果.
6.在组织探究时，教师根据探究题目，事先精心设计一系列问题，组织学生依次逐步深入探究，使探究活动更加有的放矢，有序和有层次化.
在解决《两条直线的交点坐标》一节中的探究问题“当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？”时，我设计了一系列问题：
①当λ=1时，方程表示什么图形？
②当λ=-1，λ=-2，λ=0，λ=2，λ=3时呢？
③把这些图形画在同一个直角坐标系中，你发现了什么？
④这些直线所过的点是一个具有什么特点的点？
⑤当λ取其他值时，也有这样的结论吗？
⑥你能证明你的结论吗？
学生按照这几个问题依次探究，那么“当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示无数条经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点的直线”这个结论的得到就显得顺理成章了.
7.在组织探究时，要求学生以小组为单位在课后进行探究，然后写成一篇小论文.从中培养学生搜集和处理信息的能力以及创新能力，又培养了学生乐于探究、团结协作的精神.
对“反函数”这个知识点，教材并没有深入研究，只是在学习了指数函数与对数函数后指出它们互为反函数，那么两个互为反函数的函数的图像之间有什么关系呢？课本出现这样一道“探究与发现”的题目——互为反函数的两个函数图像之间的关系.对于这个题目我是这样处理的，先把学生分成若干个小组，让他们先搜集查找相关资料，再根据课本提出的问题依次探究解决，逐步深入地探究，从而得到结论，并写成一篇小论文.而教师则鼓励学生大胆创新，多举实例，说明结论.在此过程中，学生有分工有合作，互相学习，互相取长补短，互相促进，使学生更加团结一致.从学生上交的论文来看，虽然仍显稚嫩，但看得出学生确实是投入了精力去完成这项探究任务的.
总而言之，让学生在课堂上进行自主的探究，能激发学生学习探索的兴趣及欲望，能使课堂变得更活跃于师生的互动中，能提高教师的教学及学生的学习效果.
【参考文献】
［1］白海龙.刍议数学课堂教学中的探究活动［J］.新课程(上)，2011（1）：124.
［2］陶晶.如何增强高中数学课堂探究活动的有效性［J］.科教新报(教育科研)，2010（39）：172.
［3］中华人民共和国教育部制订《普通高中数学课程标准》［M］.北京:人民教育出版社,2003.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文