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摘 要：新课程改革以来，更加明确了小学数学教学应该赋予培养学生空间观念、几何直观等核心素养的使命。现在小学數学教材，应用了多种数学工具来协助学生展开上述能力，其中，“方格图”在图形的认识和理解方面应用最广，它有利于学生进行动态思考。文章从“方格图”在小学数学图形与几何内容领域的数学价值及运用策略两方面进行阐述，让“小方格”起到“大作用”。
关键词：方格图;小学数学;图形与几何;有效运用
在人教版小学数学教学中，“方格图”对于学生的学习活动特别重要。尤其在图形与几何内容领域中，以人教版小学数学教材为例，方格图在其中出现的次数相当多。学习内容主要包括了比长短、画图形、求周长或面积、观察物体、图形移动等。
较为常见的是教师在三年级下册教学“长方形和正方形面积”时用数方格引出面积求法。其他情况下，方格图只是作为背景呈现，只有在面积教学的探究时候方便使用，其他情况下不需要吗？那么，学生是否愿意用数方格的方法来求面积呢？
在教学人教版五年级上册“不规则图形的面积”时，教材中呈现出的情境是一片在方格图上的树叶（如图1），让学生估计树叶的面积。在教学前测时，我隐去了方格，让学生想办法估一估树叶的面积（如图2）。经统计发现，班级51名同学中有近一半的学生能想到用数格子的方法去解决。可见，方格图不仅是学生学习的工具，而且已经内化为学生的思维方式，是极具价值的发展学生思维的技术支撑。
一、 “方格图”在图形与几何领域的数学价值
在数学学习中，方格图作为学生的一种学习工具，不但能体现独特的数学价值，还能帮助学生提升解决问题的能力。小学数学“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质，分类和度量;图形的平移、旋转、轴对称;描述图形的位置和运动等。
（一）培养空间想象能力
方格图可以使学生初步感知空间，还可以将直观图像简化，利于图形变换，方便感受方向和距离。例如，在“确定位置”这一教学内容中，通过方格图可以帮助学生清晰准确地描述上、下、左、右四个方位，掌握事物的具体位置。学生在具体描述中也能感受并建立方位感，这对学生空间观念的提升起到积极的作用。因此，方格图在激发学生空间想象能力，培养学生方位感和距离感等方面有重要作用。
（二）积累数学活动经验
小学数学平面图形的周长或面积的教学基本上都是借助方格图开展的。在学习周长和面积前，学生已经有了很多次借助方格图活动的经验，如果教师注意每次都能把这样的活动组织好，学生就已经积累起足够多的活动经验了，就能把自己以前的活动经验迁移到学习新知识中。即使在以后学习中遇到困难，也因有了这样的活动经验，就会像之前举例的那样，学生会很自然地回归到学习方法的本源，顺利解决问题。
例如，在学生学习长方形和正方形周长之前，教材在前一节课安排了这样的一组练习（见图3）。有经验的老师在教学中，将图形置于方格图中，学生会数出两条路线包含的边数来比较长短，也有的学生利用转化思想看成长方形再比较。学生能有从判断到分析这种思维过程，方格图起了至关重要的作用，所以说方格图的直观性为学生学习数学提供了有力的保障。
（三）掌握相关数学概念
在小学数学图形与几何内容中，有些概念学生可以通过观察获得，但有些抽象概念学生在理解时可能会存在一些困难。比如：三年级“面积和面积单位”教学中，很多教师对于下面的例题教学不知所措（见图4）。其实在学生看不出面积的大小，和用重叠的方法也不好比较时，可以让学生讨论从而引出方格图，不但直观，也能让学生更好地理解，还更能凸显“面是积出来的”本质。
（四）建构数量关系
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在小学数学图形与几何内容的教学中，有时候教师会“重结论轻过程”，针对图形面积公式的推导过程，方格图就可以直观呈现图形的转换过程。通过数方格的方法将图形和数量完美结合，从而让学生通过动手操作代替数学思考。借此培养学生数形结合思想，并帮助学生建构数量关系。像五年级上册“平行四边形的面积”这一内容（见图5），就可以由数方格开始，进而进行剪、拼，将平行四边形转换成长方形，最后再运用转化的思想构建数量关系，推导出平行四边形的面积公式。
（五）体现数学思想
在方格图与数学知识的结合中蕴含了许多数学思想。例如在“图形的运动”中，在方格图上进行轴对称、旋转、平移等内容时体现的对应思想;而通过方格纸推导多边形图形面积公式中呈现出转化思想等。
二、 “方格图”在图形与几何领域的有效运用
（一）“方格图”在教材中图形与几何领域的应用情况
通过梳理，归纳出在人教版小学数学教材中图形与几何方格图的使用情况如下表：
从上表不难看出，方格图在人教版小学数学图形与几何中的使用率最高，主要也就是借助方格图进行画图、平移、变换图形，测量、估算图形面积等。二年级教材主要通过使用方格图初步认识角;三年级教材中方格图不仅是学生绘画图形的制图工具，还是设计“周长”和“面积”的重要载体;四年级教材则主要利用方格图中位置关系的特点，让学生感受图形的“平行”“平移”等概念;五年级教材中利用方格图对图形面积进行估算;六年级教材借助方格图放大或缩小图形，让学生感受数对和位置的对应关系。
（二）“方格图”在图形与几何领域的有效运用策略
根据教材中应用方格图的情况分析，我们需要在教学中从以下两个方面做出改进。
1. 重视操作理解，强调发展思维
借助方格图，不但能让学生懂得长度、周长、面积等抽象的数学知识，还可以让学生明白知识的起源，知其然并知其所以然。
比如：人教版五年级上册“平行四边形的面积”这一课（如图6），重点是让学生通过对方格图中的等底等高的平行四边形和长方形进行对比，然后探究出平行四边形面积公式。教学时，应重视操作，一定要让学生经历数方格的这个过程。 首先，引导学生先数整格，如果遇到不满一格的情况，在经过讨论后明确：按半格算或是平移凑整格。从而求出平行四边形的面积。
接下来，汇报研讨时引导学生发现，按半格算或是平移凑整格两种方法不一样，但从“纵横”两个维度来看，这个平行四边形实际是每排摆了6小格，共摆4排，数出它的面积，实际就是求4个6的过程;这个时候老师可以出示方格背景的平行四边形和长方形（如图7），让学生再数数长方形的面积，最后隐去方格，出示没有方格背景的平行四边形与等底等高长方形，让学生思考怎样计算面积。
完成上述过程后，教师快速引导学生回顾刚才数方格的过程，然后想想平行四边形的面积可以怎样求？学生有了相对完整的操作理解，经历操作过程后，总结出平行四边形面积的计算方法，这实际上也是学生思维发展的过程，相信接下来的学习中遇到此类问题，也能够合理思考并解决，这才是充满生长力的学习。
2. 重视发现创作，强调创新发展
利用直观、简洁且准确的方格图，可以避免在数学学习活动中因测量产生的误差，凸显出学生探究的本质，使教学过程变得更高效，有利于学生掌握数学学习的方法。例如，在学习了“面积和面积单位”之后，可以让学生用4个小正方形在方格纸上拼图形，然后观察图形的面积和周长。在探究中学生画出很多图形（如图8），引导学生观察比较发现：因为是4个小正方形拼的，所以面积都是4平方厘米。而拼成图形的周长与重叠的边数有关，重叠的边数越多周长就越短，重叠的边数越少周长就越长。
像上图的例子还有很多，比如在方格纸上让学生画出形状不一样面积相等的长方形，探索发现周长的变化规律和观察面积的变化规律。其实面积和周长是平面图形的两个重要概念，它们有着紧密的联系，让学生说可能有一定困难，但在方格图上画一画、观察、比较，就容易发现周长和面积的变化规律。
还有，在数学学习活动中还可以让学生利用平面图形进行创作，培养和发展学生的应用意识和创新意识。方格图的简洁明了，能让学生很快地捕捉到一些数学信息，完成一些数学探究，有时还会激发学生灵感，使数学美得以充分展现。
例如，在学习“面积”单元之后，教师让学生在方格纸上设计面积是8平方厘米的图案。有的学生画成卡通人物，有的学生画成小动物头像，还有的学生画成美丽的对称图形……面积都是8平方厘米。学生的创作也对以后图形面积割补、转化提供了直观感受，为图形面积公式的推导及不规则图形面积的计算做了很好的铺垫。
图形与几何课程内容教学，需要重视发现创作，强调创新发展。用好方格图，是很好的一个手段。方格图有效激活了学生的经验，这在图形与几何领域中表现得尤为突出。教师要从大课程观的视角去探索方格图的作用，认真整理、研究、理解使用方格图的意图，充分发挥其作用，从而培养数学思维能力，提高学生学习数学的主动性。
参考文献：
[1]赵红霞，张雪.方格图在小学数学教学中的有效应用[J].兵团教育学院学报，2020（2）：60-65.
[2]王晶晶.数学小方格 教学大智慧：方格图在教学中的應用与再开发[J].江苏教育，2014（17）：35-37.
[3]陈贝贝.方格图在小学数学教学中的有效应用[C]∥国家教师科研专项基金科研成果2018（一），2018：443-444.
[4]李延江，雷俊.“方格图”在平面图形教学中的有效运用[J].小学教学参考，2014（17）：4-6.
作者简介：
郭杨，新疆维吾尔自治区伊宁市，新疆伊宁市第二十二中学。
关键词：方格图;小学数学;图形与几何;有效运用
在人教版小学数学教学中，“方格图”对于学生的学习活动特别重要。尤其在图形与几何内容领域中，以人教版小学数学教材为例，方格图在其中出现的次数相当多。学习内容主要包括了比长短、画图形、求周长或面积、观察物体、图形移动等。
较为常见的是教师在三年级下册教学“长方形和正方形面积”时用数方格引出面积求法。其他情况下，方格图只是作为背景呈现，只有在面积教学的探究时候方便使用，其他情况下不需要吗？那么，学生是否愿意用数方格的方法来求面积呢？
在教学人教版五年级上册“不规则图形的面积”时，教材中呈现出的情境是一片在方格图上的树叶（如图1），让学生估计树叶的面积。在教学前测时，我隐去了方格，让学生想办法估一估树叶的面积（如图2）。经统计发现，班级51名同学中有近一半的学生能想到用数格子的方法去解决。可见，方格图不仅是学生学习的工具，而且已经内化为学生的思维方式，是极具价值的发展学生思维的技术支撑。
一、 “方格图”在图形与几何领域的数学价值
在数学学习中，方格图作为学生的一种学习工具，不但能体现独特的数学价值，还能帮助学生提升解决问题的能力。小学数学“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质，分类和度量;图形的平移、旋转、轴对称;描述图形的位置和运动等。
（一）培养空间想象能力
方格图可以使学生初步感知空间，还可以将直观图像简化，利于图形变换，方便感受方向和距离。例如，在“确定位置”这一教学内容中，通过方格图可以帮助学生清晰准确地描述上、下、左、右四个方位，掌握事物的具体位置。学生在具体描述中也能感受并建立方位感，这对学生空间观念的提升起到积极的作用。因此，方格图在激发学生空间想象能力，培养学生方位感和距离感等方面有重要作用。
（二）积累数学活动经验
小学数学平面图形的周长或面积的教学基本上都是借助方格图开展的。在学习周长和面积前，学生已经有了很多次借助方格图活动的经验，如果教师注意每次都能把这样的活动组织好，学生就已经积累起足够多的活动经验了，就能把自己以前的活动经验迁移到学习新知识中。即使在以后学习中遇到困难，也因有了这样的活动经验，就会像之前举例的那样，学生会很自然地回归到学习方法的本源，顺利解决问题。
例如，在学生学习长方形和正方形周长之前，教材在前一节课安排了这样的一组练习（见图3）。有经验的老师在教学中，将图形置于方格图中，学生会数出两条路线包含的边数来比较长短，也有的学生利用转化思想看成长方形再比较。学生能有从判断到分析这种思维过程，方格图起了至关重要的作用，所以说方格图的直观性为学生学习数学提供了有力的保障。
（三）掌握相关数学概念
在小学数学图形与几何内容中，有些概念学生可以通过观察获得，但有些抽象概念学生在理解时可能会存在一些困难。比如：三年级“面积和面积单位”教学中，很多教师对于下面的例题教学不知所措（见图4）。其实在学生看不出面积的大小，和用重叠的方法也不好比较时，可以让学生讨论从而引出方格图，不但直观，也能让学生更好地理解，还更能凸显“面是积出来的”本质。
（四）建构数量关系
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在小学数学图形与几何内容的教学中，有时候教师会“重结论轻过程”，针对图形面积公式的推导过程，方格图就可以直观呈现图形的转换过程。通过数方格的方法将图形和数量完美结合，从而让学生通过动手操作代替数学思考。借此培养学生数形结合思想，并帮助学生建构数量关系。像五年级上册“平行四边形的面积”这一内容（见图5），就可以由数方格开始，进而进行剪、拼，将平行四边形转换成长方形，最后再运用转化的思想构建数量关系，推导出平行四边形的面积公式。
（五）体现数学思想
在方格图与数学知识的结合中蕴含了许多数学思想。例如在“图形的运动”中，在方格图上进行轴对称、旋转、平移等内容时体现的对应思想;而通过方格纸推导多边形图形面积公式中呈现出转化思想等。
二、 “方格图”在图形与几何领域的有效运用
（一）“方格图”在教材中图形与几何领域的应用情况
通过梳理，归纳出在人教版小学数学教材中图形与几何方格图的使用情况如下表：
从上表不难看出，方格图在人教版小学数学图形与几何中的使用率最高，主要也就是借助方格图进行画图、平移、变换图形，测量、估算图形面积等。二年级教材主要通过使用方格图初步认识角;三年级教材中方格图不仅是学生绘画图形的制图工具，还是设计“周长”和“面积”的重要载体;四年级教材则主要利用方格图中位置关系的特点，让学生感受图形的“平行”“平移”等概念;五年级教材中利用方格图对图形面积进行估算;六年级教材借助方格图放大或缩小图形，让学生感受数对和位置的对应关系。
（二）“方格图”在图形与几何领域的有效运用策略
根据教材中应用方格图的情况分析，我们需要在教学中从以下两个方面做出改进。
1. 重视操作理解，强调发展思维
借助方格图，不但能让学生懂得长度、周长、面积等抽象的数学知识，还可以让学生明白知识的起源，知其然并知其所以然。
比如：人教版五年级上册“平行四边形的面积”这一课（如图6），重点是让学生通过对方格图中的等底等高的平行四边形和长方形进行对比，然后探究出平行四边形面积公式。教学时，应重视操作，一定要让学生经历数方格的这个过程。 首先，引导学生先数整格，如果遇到不满一格的情况，在经过讨论后明确：按半格算或是平移凑整格。从而求出平行四边形的面积。
接下来，汇报研讨时引导学生发现，按半格算或是平移凑整格两种方法不一样，但从“纵横”两个维度来看，这个平行四边形实际是每排摆了6小格，共摆4排，数出它的面积，实际就是求4个6的过程;这个时候老师可以出示方格背景的平行四边形和长方形（如图7），让学生再数数长方形的面积，最后隐去方格，出示没有方格背景的平行四边形与等底等高长方形，让学生思考怎样计算面积。
完成上述过程后，教师快速引导学生回顾刚才数方格的过程，然后想想平行四边形的面积可以怎样求？学生有了相对完整的操作理解，经历操作过程后，总结出平行四边形面积的计算方法，这实际上也是学生思维发展的过程，相信接下来的学习中遇到此类问题，也能够合理思考并解决，这才是充满生长力的学习。
2. 重视发现创作，强调创新发展
利用直观、简洁且准确的方格图，可以避免在数学学习活动中因测量产生的误差，凸显出学生探究的本质，使教学过程变得更高效，有利于学生掌握数学学习的方法。例如，在学习了“面积和面积单位”之后，可以让学生用4个小正方形在方格纸上拼图形，然后观察图形的面积和周长。在探究中学生画出很多图形（如图8），引导学生观察比较发现：因为是4个小正方形拼的，所以面积都是4平方厘米。而拼成图形的周长与重叠的边数有关，重叠的边数越多周长就越短，重叠的边数越少周长就越长。
像上图的例子还有很多，比如在方格纸上让学生画出形状不一样面积相等的长方形，探索发现周长的变化规律和观察面积的变化规律。其实面积和周长是平面图形的两个重要概念，它们有着紧密的联系，让学生说可能有一定困难，但在方格图上画一画、观察、比较，就容易发现周长和面积的变化规律。
还有，在数学学习活动中还可以让学生利用平面图形进行创作，培养和发展学生的应用意识和创新意识。方格图的简洁明了，能让学生很快地捕捉到一些数学信息，完成一些数学探究，有时还会激发学生灵感，使数学美得以充分展现。
例如，在学习“面积”单元之后，教师让学生在方格纸上设计面积是8平方厘米的图案。有的学生画成卡通人物，有的学生画成小动物头像，还有的学生画成美丽的对称图形……面积都是8平方厘米。学生的创作也对以后图形面积割补、转化提供了直观感受，为图形面积公式的推导及不规则图形面积的计算做了很好的铺垫。
图形与几何课程内容教学，需要重视发现创作，强调创新发展。用好方格图，是很好的一个手段。方格图有效激活了学生的经验，这在图形与几何领域中表现得尤为突出。教师要从大课程观的视角去探索方格图的作用，认真整理、研究、理解使用方格图的意图，充分发挥其作用，从而培养数学思维能力，提高学生学习数学的主动性。
参考文献：
[1]赵红霞，张雪.方格图在小学数学教学中的有效应用[J].兵团教育学院学报，2020（2）：60-65.
[2]王晶晶.数学小方格 教学大智慧：方格图在教学中的應用与再开发[J].江苏教育，2014（17）：35-37.
[3]陈贝贝.方格图在小学数学教学中的有效应用[C]∥国家教师科研专项基金科研成果2018（一），2018：443-444.
[4]李延江，雷俊.“方格图”在平面图形教学中的有效运用[J].小学教学参考，2014（17）：4-6.
作者简介：
郭杨，新疆维吾尔自治区伊宁市，新疆伊宁市第二十二中学。