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【摘 要】嫦娥三号的成功发射与着陆着实让国人喜悦，它的成功也凝结了许多科学家的辛劳汗水。本文介绍如何用数学建模的方法确定嫦娥三号在月面15公里上空的近月点位置：构建力学模型，建立嫦娥三号的质量、比冲、时间的微分关系，依据燃油最省的原则，通过试算得到飞行器主减速阶段初末俯仰角和推力的最佳值，按时间线性插值俯仰角，运用MATLAB对主减速过程进行拟合，得到主减速阶段的水平位移，而后根据月球表面相对位移与经纬度的变化关系，以及预定着陆点坐标19.51W，44.12N反推近月点位置。
【关键词】软着陆；节省燃油；坐标反推；MTALAB
1.问题重述
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。试确定：着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
2.问题分析
这个问题属于航天着陆轨道设计。
（1）轨道面确定：飞行器可以视为一个小型天体，它在椭圆绕月轨道上需要服从开普勒第一定律、为节省燃油轨道面过预定着陆点、选定典型极地轨道，三个条件决定着陆准备轨道和月球19.51W经线圈位于同一平面。
（2）着陆阶段水平位移确定：软着陆6大阶段中主减速阶段（月面上空15km至3km）的水平位移占据总水平位移中的绝大部分，其余5大阶段多产生竖向位移或历时较短，所以仅需要考虑主减速阶段的水平位移；在设定飞行器初末俯仰角后，不断增大俯角，并以满推力7500N制动。
（3）主减速阶段推力控制策略：因比冲衡定，飞行器推力越大从而消耗燃油越快；为使得嫦娥三号减少制动耗能，应在高空尽可能多地使用燃油抵消机械能；进而在主减速阶段可以采用喷射器满推力7500N工作的控制策略。
（4）坐标反推：在计算主减速阶段水平位移后，依据主减速阶段平均高度（距离月心）折算维度变化，参考预定着陆点坐标得到近月点坐标。
3.模型假设
（1）在嫦娥三号動力下降过程中，忽略地球及其他引力对嫦娥三号的影响，只考虑月球对于飞行器的影响作用。
（2）因月球自转速度相对缓慢，可忽略自转影响与科里奥利力影响。
（3）考虑燃料的消耗对于嫦娥三号的质量的影响。
（4）因为月球的扁率仅为1/963.725=0.00308，所以可以将月球简化为球体。
（5）月球表面没有大气层，几乎无空气阻力，嫦娥三号机械能守恒。
（6）在0.1s内，嫦娥三号的速度，加速度的大小和方向以及质量保持不变。
4.模型建立
4.1建立动坐标系
坐标系X轴以嫦娥三号进入主减速阶段为起始点，距离月球表面15km的圆轨道的切向方向为坐标轴原点，以起始点沿月球径向远离球心的方向Y轴的正方向。即坐标原点与嫦娥三号在同一月球半径上。
4.2力学模型与运动模型
嫦娥三号在运动过程中受到月球的引力与重力成正比，月球的引力指向月球圆心，分析嫦娥三号的运动状态，在椭圆的任一点处，嫦娥三号受到的月球引力均为F；第t时刻，飞行器的水平速度的大小为Vxt，竖直方向的速度大小为Vyt：
一方面，嫦娥三号在极地椭圆轨道的平面内做曲线运动，满足法向力的平衡：引力、惯性力、重力合力为零， 另一方面，嫦娥三号在曲线运动时切向满足牛顿第二定律。
质量变化由燃油损耗引起，由于比冲恒定等于2940m/s，所以单位时间消耗的燃料数量恒定，为2.55kg/s。
嫦娥三号主减速阶段的边界条件已知：高度由15公里降至3公里，初速度为1.695km/s，方向为水平（即椭圆轨道近月点处切向）。
4.3水平位移的计算
为了保证主减速阶段的要求，需要满足以下边界条件：主减速阶段初末速度分别为1.7km/s与57m/s，初末高度分别为15km与3km；主减速阶段的主要任务是减速，故飞行器喷射器应在降落过程中基本与速度方向相反；为避免因控制误差而导致飞行器逃逸，取初始俯角5°，末俯角30°（后阶段控制策略最优化要求），满推力7500N工作，取时间的步长为0.1s ，建立角度均匀变化模型，使用MATLAB程序对每一个时间节点的角度值进行拟合，经解得：嫦娥三号经过的水平距离为389km，此时的水平速度45.32m/s，竖直方向速度34.21m/s。
4.4近月点位置的确定
所以近月点可以是距离着陆点上空15km，水平距离为389km的圆上的任一点。月面上空8km（主减速阶段平均高度）高度19.51°W经线圈的半径为1743.8km，所以纬度上每变化一度，变化的距离约为每度30.43公里，由水平位移为389km可得，角度变化为12.75°
所以降落圈的最南端为C（19.41°W，31.37°N），最北端为D（19.41°W，56.87°N）。
选择由南向北的典型极地绕月轨道，近月点位置即可确定：（19.41°W，31.37°N），月面上空15km处，即可进入主减速阶段。
4.5远月点位置及近远月点速度
远月点由月面坐标的中心对称可得，为（340.59°E，31.37°N）；由于月球球心处于椭圆轨道的一个焦点上，近、远月点的速度可由角动量守恒、机械能守恒两大定律联合解得：近月点速度为1.695km/s，远月点速度为1.617km/s。
在求得近、远月点位置与速度后，若要模拟实际着落点，应以此计算结果为初始条件，分主减速、快速调整、粗避障、细避障等6阶段进行计算。
5.误差分析
5.1月球自转影响
月球自转的角速度为：1.525（单位为度/秒，自转周期取27天7时43分）。
在大约750s的软着陆过程中，月球自转经过的角度为0.11°；由月球自转方向自西向东，故近月点应向东修正0.11°。
5.2科氏力影响
科氏力作用下飞行器偏向223m，折算为经度偏差即0.01°，方向与自转相反。
所以近月点坐标修正为：（19.31°W，31.37°N）。
6.模型推广
此模型考虑在着陆过程中，飞行器在变质量的情况下制动的控制策略，可应用于一般的飞行器着陆控制问题；近月点计算模型可适用于一般的着陆准备轨道选取。 [科]
【参考文献】
[1]张洪华，关轶峰，黄翔宇.嫦娥三号着陆器动力下降的制导导航与控制.
[2]果壳网，http：//www.guokr.com/link/120088/？basket_id=14654，月球经纬度是怎么确定.
【关键词】软着陆；节省燃油；坐标反推；MTALAB
1.问题重述
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。试确定：着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
2.问题分析
这个问题属于航天着陆轨道设计。
（1）轨道面确定：飞行器可以视为一个小型天体，它在椭圆绕月轨道上需要服从开普勒第一定律、为节省燃油轨道面过预定着陆点、选定典型极地轨道，三个条件决定着陆准备轨道和月球19.51W经线圈位于同一平面。
（2）着陆阶段水平位移确定：软着陆6大阶段中主减速阶段（月面上空15km至3km）的水平位移占据总水平位移中的绝大部分，其余5大阶段多产生竖向位移或历时较短，所以仅需要考虑主减速阶段的水平位移；在设定飞行器初末俯仰角后，不断增大俯角，并以满推力7500N制动。
（3）主减速阶段推力控制策略：因比冲衡定，飞行器推力越大从而消耗燃油越快；为使得嫦娥三号减少制动耗能，应在高空尽可能多地使用燃油抵消机械能；进而在主减速阶段可以采用喷射器满推力7500N工作的控制策略。
（4）坐标反推：在计算主减速阶段水平位移后，依据主减速阶段平均高度（距离月心）折算维度变化，参考预定着陆点坐标得到近月点坐标。
3.模型假设
（1）在嫦娥三号動力下降过程中，忽略地球及其他引力对嫦娥三号的影响，只考虑月球对于飞行器的影响作用。
（2）因月球自转速度相对缓慢，可忽略自转影响与科里奥利力影响。
（3）考虑燃料的消耗对于嫦娥三号的质量的影响。
（4）因为月球的扁率仅为1/963.725=0.00308，所以可以将月球简化为球体。
（5）月球表面没有大气层，几乎无空气阻力，嫦娥三号机械能守恒。
（6）在0.1s内，嫦娥三号的速度，加速度的大小和方向以及质量保持不变。
4.模型建立
4.1建立动坐标系
坐标系X轴以嫦娥三号进入主减速阶段为起始点，距离月球表面15km的圆轨道的切向方向为坐标轴原点，以起始点沿月球径向远离球心的方向Y轴的正方向。即坐标原点与嫦娥三号在同一月球半径上。
4.2力学模型与运动模型
嫦娥三号在运动过程中受到月球的引力与重力成正比，月球的引力指向月球圆心，分析嫦娥三号的运动状态，在椭圆的任一点处，嫦娥三号受到的月球引力均为F；第t时刻，飞行器的水平速度的大小为Vxt，竖直方向的速度大小为Vyt：
一方面，嫦娥三号在极地椭圆轨道的平面内做曲线运动，满足法向力的平衡：引力、惯性力、重力合力为零， 另一方面，嫦娥三号在曲线运动时切向满足牛顿第二定律。
质量变化由燃油损耗引起，由于比冲恒定等于2940m/s，所以单位时间消耗的燃料数量恒定，为2.55kg/s。
嫦娥三号主减速阶段的边界条件已知：高度由15公里降至3公里，初速度为1.695km/s，方向为水平（即椭圆轨道近月点处切向）。
4.3水平位移的计算
为了保证主减速阶段的要求，需要满足以下边界条件：主减速阶段初末速度分别为1.7km/s与57m/s，初末高度分别为15km与3km；主减速阶段的主要任务是减速，故飞行器喷射器应在降落过程中基本与速度方向相反；为避免因控制误差而导致飞行器逃逸，取初始俯角5°，末俯角30°（后阶段控制策略最优化要求），满推力7500N工作，取时间的步长为0.1s ，建立角度均匀变化模型，使用MATLAB程序对每一个时间节点的角度值进行拟合，经解得：嫦娥三号经过的水平距离为389km，此时的水平速度45.32m/s，竖直方向速度34.21m/s。
4.4近月点位置的确定
所以近月点可以是距离着陆点上空15km，水平距离为389km的圆上的任一点。月面上空8km（主减速阶段平均高度）高度19.51°W经线圈的半径为1743.8km，所以纬度上每变化一度，变化的距离约为每度30.43公里，由水平位移为389km可得，角度变化为12.75°
所以降落圈的最南端为C（19.41°W，31.37°N），最北端为D（19.41°W，56.87°N）。
选择由南向北的典型极地绕月轨道，近月点位置即可确定：（19.41°W，31.37°N），月面上空15km处，即可进入主减速阶段。
4.5远月点位置及近远月点速度
远月点由月面坐标的中心对称可得，为（340.59°E，31.37°N）；由于月球球心处于椭圆轨道的一个焦点上，近、远月点的速度可由角动量守恒、机械能守恒两大定律联合解得：近月点速度为1.695km/s，远月点速度为1.617km/s。
在求得近、远月点位置与速度后，若要模拟实际着落点，应以此计算结果为初始条件，分主减速、快速调整、粗避障、细避障等6阶段进行计算。
5.误差分析
5.1月球自转影响
月球自转的角速度为：1.525（单位为度/秒，自转周期取27天7时43分）。
在大约750s的软着陆过程中，月球自转经过的角度为0.11°；由月球自转方向自西向东，故近月点应向东修正0.11°。
5.2科氏力影响
科氏力作用下飞行器偏向223m，折算为经度偏差即0.01°，方向与自转相反。
所以近月点坐标修正为：（19.31°W，31.37°N）。
6.模型推广
此模型考虑在着陆过程中，飞行器在变质量的情况下制动的控制策略，可应用于一般的飞行器着陆控制问题；近月点计算模型可适用于一般的着陆准备轨道选取。 [科]
【参考文献】
[1]张洪华，关轶峰，黄翔宇.嫦娥三号着陆器动力下降的制导导航与控制.
[2]果壳网，http：//www.guokr.com/link/120088/？basket_id=14654，月球经纬度是怎么确定.