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摘要：本文通过类比教材中等差等比数列数列通项公式的推导方法，解决常见几类由递推公式求通项公式的问题。
关键词：数列；递推公式；通项公式
中国分类号：O13
由数列的递推公式求通项公式是数列问题中的一种常见而又重要问题，要求学生有较高的综合运用数列知识解决问题的能力，因而学生解决起来比较困难。其实此类问题的解决方法就源于课本，只要引导学生认真研读课本，抽象出方法即可。本文就从依据等差数列定义求通项问题的基本方法，说明常见由递推公式求通项公式的方法。
先分析等差数列求通项的方法。由等差数列的定义若数列 是等差数列，则
那么有两种方法可以很容易的解决求通项公式的问题，
法一（迭代法）：
法二（累加法）： …，
这n-1个等式左右两端分别相加得： 即 .
在上述问题的解决过程中，我们得到了求通项的两种方法，利用这些方法，就可以解决以下几类问题：
类型I： 解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法（逐差相加法）例1.已知数列 满足 ， ，求 .
解析：由已知可得 ，则
， ，…， 所以 ，即 .
把求等差数列的通项公式的方法类比到等比数列中即可得到累乘法（逐商相乘法），利用此法可解决以下问题
类型II ： 解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法（逐商相乘法）求解.例2.已知数列 满足 ， ，求 .
解析：由已知得 ，则 ， ， ，…， .
所以 ，即
类型III： （其中p，q均为常数， .
解析：原递推公式可转化为 ，即为类型I。
例3.已知数列 中， ， ，求 .
解析：由已知得， ，即 ，则数列 是等差数列，其中首项为 、公差为1，所以 即
类型IV： 递推公式为 （其中p，q均为常数）.
解析：运用待定系数法，先把原递推公式转化为
其中s，t满足 ，则数列 为等比数列，求出其通项公式.
例4.已知数列 满足
（I）证明：数列 是等比数列；（II）求数列 的通项公式；
解析：（I）由已知得， ，所以数列 是等比数列；
（II）由（I）得， ，则
，所以
，即 .
总之，对于高中学生来说，因为数列在课本上的内容和习题相对都比较简单，而在考试尤其是高考中數列题目大多数又比较难，有的题目很难、很复杂，显示出很大的反差。使得在学习数列时感到很困难，数列中由递推公式求通项公式的问题就是一类，但通过我们回归课本，研究了等差数列求通项的问题之后，给予我们启发，顺利解决了遇到的问题，值得借鉴。
关键词：数列；递推公式；通项公式
中国分类号：O13
由数列的递推公式求通项公式是数列问题中的一种常见而又重要问题，要求学生有较高的综合运用数列知识解决问题的能力，因而学生解决起来比较困难。其实此类问题的解决方法就源于课本，只要引导学生认真研读课本，抽象出方法即可。本文就从依据等差数列定义求通项问题的基本方法，说明常见由递推公式求通项公式的方法。
先分析等差数列求通项的方法。由等差数列的定义若数列 是等差数列，则
那么有两种方法可以很容易的解决求通项公式的问题，
法一（迭代法）：
法二（累加法）： …，
这n-1个等式左右两端分别相加得： 即 .
在上述问题的解决过程中，我们得到了求通项的两种方法，利用这些方法，就可以解决以下几类问题：
类型I： 解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法（逐差相加法）例1.已知数列 满足 ， ，求 .
解析：由已知可得 ，则
， ，…， 所以 ，即 .
把求等差数列的通项公式的方法类比到等比数列中即可得到累乘法（逐商相乘法），利用此法可解决以下问题
类型II ： 解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法（逐商相乘法）求解.例2.已知数列 满足 ， ，求 .
解析：由已知得 ，则 ， ， ，…， .
所以 ，即
类型III： （其中p，q均为常数， .
解析：原递推公式可转化为 ，即为类型I。
例3.已知数列 中， ， ，求 .
解析：由已知得， ，即 ，则数列 是等差数列，其中首项为 、公差为1，所以 即
类型IV： 递推公式为 （其中p，q均为常数）.
解析：运用待定系数法，先把原递推公式转化为
其中s，t满足 ，则数列 为等比数列，求出其通项公式.
例4.已知数列 满足
（I）证明：数列 是等比数列；（II）求数列 的通项公式；
解析：（I）由已知得， ，所以数列 是等比数列；
（II）由（I）得， ，则
，所以
，即 .
总之，对于高中学生来说，因为数列在课本上的内容和习题相对都比较简单，而在考试尤其是高考中數列题目大多数又比较难，有的题目很难、很复杂，显示出很大的反差。使得在学习数列时感到很困难，数列中由递推公式求通项公式的问题就是一类，但通过我们回归课本，研究了等差数列求通项的问题之后，给予我们启发，顺利解决了遇到的问题，值得借鉴。