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摘要：基于逐点比较法的计算原理，改进了插补算法的数学模型，对插补算法进行了优化。经实验证明，改进后的逐点比较法在加工零件时，插补精度有所提高，速度加快，可以获得较高的经济效益。
关键词：CNC系统；逐点比较法插补；优化设计
逐点比较法的插补原理：CNC系统在控制过程中，能逐点地计算和判别运动轨迹与给定轨迹的偏差，并根据偏差控制进给轴以折线来逼近给定轨迹。
一、直线插补
假设加工如图1所示的第一象限的直线OA。取直线起点为坐标原点，直线终点坐标A（Xe，Ye）已知。M（Xm，Ym）为动点，则下列关系式成立：
若M在直线OA上，则Ym/Xm=Ye/Xe
由此，可定义直线插补的偏差函数为：
?摇Fm=YmXe-XmYe?摇（1）
若?摇Fm≥0，表明M点在OA直线上或直线上方，应沿着+X方向进给一步。走步后新的坐标值为：Xm+1=Xm+1，Ym+1=Ym由（1）式，新点的偏差函数为：?摇Fm+1=Ym+1?摇Xe-Xm+1Ye=Fm-Fe
若Fm＜0，表明M点在直线的下方，应向+Y方向进给一步。走步后的新的坐标值为：Xm+1=Xm+1，Ym+1=Ym，由（1）式，新点的偏差函数为：Fm+1=Ym+1?摇Xe-Xm+1Ye=Fm+Xe
再根据新加工点偏差大于、等于、小于零决定下一步走向。如此进行下去，直到两个方向走的步数与终点坐标值（Xe，Ye）相等，发出终点到达信号，该直线段插补结束。综上所述，每进给一步需要四个节拍：偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判别。
二、圆弧插补
其流程框图如图2所示：
以第一象限逆圆弧为例讨论圆弧插补的偏差函数，如图3所示。
加工圆弧AB，设圆弧的圆心为坐标原点，并已知圆弧的起点为A（X0，Y0），终点为B（Xe，Ye），圆弧半径为R。动态加工点为M（Xm，Ym），点M到圆心的距离为Rm，比较R和Rm反映加工偏差。定义圆弧插补的偏差函数如下：Fm=R2m-R2=X2m+Y2m-R2，（2）
若Fm≥0，表明M点在圆弧上或圆弧之外，应沿-X方向进给一步。走后新的坐标值为：Xm+1=Xm-1，Ym+1=Ym
由式（2），新的偏差函数为：?摇Fm+1=X2m+1+Y2m+1-R2=Fm-2Xm+1
若Fm＜0，表明M點在圆弧内，应沿+Y轴方向进给一步。走步后的新的坐标值为：Xm+1=Xm，Ym+1=Ym+1
由式（2），新点的偏差函数为：
Fm+1=X2m+1+Y2m+1-R2=Fm+2Ym+1
以上的分析计算可以得出，逐点比较法插补的进给方向是由偏差函数的正负决定，插补过程中的最大误差小于或等于一个脉冲当量。
三、插补算法的优化
基本思路：每插补一次，不仅能单独向X坐标或Y坐标方向进给一步，还能同时在X、Y坐标方向同时进给一步，也就是可以实现三种进给方向，最终的进给方向选取三种进给方向误差最小的方向。
1.直线插补数学模型的建立。
若Fm=0，动点在直线上，进给方向应为直线方向，即X、Y方向同时进给一步。
若Fm＞0，动点在直线上方，进给方向为+X方向或+X方向或+X、+Y同时进给一步。
若Fm＜0，动点在直线下方，进给方向为+Y方向或+X、+Y方向同时进给一步。
在单方向进给时的偏差函数不变，+X、+Y方向同时进给的新点偏差函数很容易得出：Fm+1=Fm+Xe-Ye?摇
比较以上三种偏差值的绝对值大小，选取偏差值最小的方向进给。
2.圆弧插补数学模型的建立以第一象限逆圆弧插补为例，在-X、+Y方向进给的偏差函数不变，-X、+Y方向同时进给的偏差函数为：?摇Fm+1xy=Fm+1x+Fm+1x-Fmxy?摇
式中Fm+1x为X方向的偏差函数，Fm+1y为Y方向的偏差函数。
计算出三种偏差值，比较绝对值大小，选取偏差最小的方向进给。
结论：
通过对逐点比较法的优化设计，更进一步地减少了数控机床的加工误差，而且提高了执行部件的运行速度，该插补算法的优化设计为数控机床的优化设计提供了一种新思路和方法。该方法在天水星火机床厂某些车床上进行实验，取得了较好的经济效益。
参考文献：
[1]徐元昌.数控技术[M].北京：中国轻工业出版社，2004：9-18.
[2]任玉田.新编机床数控技术[M].北京：北京理工大学出版社，2009：136-152.
[3]常晓俊.数控机床逐点比较法插补直线分析[J].山西机械，2002，（5）.
关键词：CNC系统；逐点比较法插补；优化设计
逐点比较法的插补原理：CNC系统在控制过程中，能逐点地计算和判别运动轨迹与给定轨迹的偏差，并根据偏差控制进给轴以折线来逼近给定轨迹。
一、直线插补
假设加工如图1所示的第一象限的直线OA。取直线起点为坐标原点，直线终点坐标A（Xe，Ye）已知。M（Xm，Ym）为动点，则下列关系式成立：
若M在直线OA上，则Ym/Xm=Ye/Xe
由此，可定义直线插补的偏差函数为：
?摇Fm=YmXe-XmYe?摇（1）
若?摇Fm≥0，表明M点在OA直线上或直线上方，应沿着+X方向进给一步。走步后新的坐标值为：Xm+1=Xm+1，Ym+1=Ym由（1）式，新点的偏差函数为：?摇Fm+1=Ym+1?摇Xe-Xm+1Ye=Fm-Fe
若Fm＜0，表明M点在直线的下方，应向+Y方向进给一步。走步后的新的坐标值为：Xm+1=Xm+1，Ym+1=Ym，由（1）式，新点的偏差函数为：Fm+1=Ym+1?摇Xe-Xm+1Ye=Fm+Xe
再根据新加工点偏差大于、等于、小于零决定下一步走向。如此进行下去，直到两个方向走的步数与终点坐标值（Xe，Ye）相等，发出终点到达信号，该直线段插补结束。综上所述，每进给一步需要四个节拍：偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判别。
二、圆弧插补
其流程框图如图2所示：
以第一象限逆圆弧为例讨论圆弧插补的偏差函数，如图3所示。
加工圆弧AB，设圆弧的圆心为坐标原点，并已知圆弧的起点为A（X0，Y0），终点为B（Xe，Ye），圆弧半径为R。动态加工点为M（Xm，Ym），点M到圆心的距离为Rm，比较R和Rm反映加工偏差。定义圆弧插补的偏差函数如下：Fm=R2m-R2=X2m+Y2m-R2，（2）
若Fm≥0，表明M点在圆弧上或圆弧之外，应沿-X方向进给一步。走后新的坐标值为：Xm+1=Xm-1，Ym+1=Ym
由式（2），新的偏差函数为：?摇Fm+1=X2m+1+Y2m+1-R2=Fm-2Xm+1
若Fm＜0，表明M點在圆弧内，应沿+Y轴方向进给一步。走步后的新的坐标值为：Xm+1=Xm，Ym+1=Ym+1
由式（2），新点的偏差函数为：
Fm+1=X2m+1+Y2m+1-R2=Fm+2Ym+1
以上的分析计算可以得出，逐点比较法插补的进给方向是由偏差函数的正负决定，插补过程中的最大误差小于或等于一个脉冲当量。
三、插补算法的优化
基本思路：每插补一次，不仅能单独向X坐标或Y坐标方向进给一步，还能同时在X、Y坐标方向同时进给一步，也就是可以实现三种进给方向，最终的进给方向选取三种进给方向误差最小的方向。
1.直线插补数学模型的建立。
若Fm=0，动点在直线上，进给方向应为直线方向，即X、Y方向同时进给一步。
若Fm＞0，动点在直线上方，进给方向为+X方向或+X方向或+X、+Y同时进给一步。
若Fm＜0，动点在直线下方，进给方向为+Y方向或+X、+Y方向同时进给一步。
在单方向进给时的偏差函数不变，+X、+Y方向同时进给的新点偏差函数很容易得出：Fm+1=Fm+Xe-Ye?摇
比较以上三种偏差值的绝对值大小，选取偏差值最小的方向进给。
2.圆弧插补数学模型的建立以第一象限逆圆弧插补为例，在-X、+Y方向进给的偏差函数不变，-X、+Y方向同时进给的偏差函数为：?摇Fm+1xy=Fm+1x+Fm+1x-Fmxy?摇
式中Fm+1x为X方向的偏差函数，Fm+1y为Y方向的偏差函数。
计算出三种偏差值，比较绝对值大小，选取偏差最小的方向进给。
结论：
通过对逐点比较法的优化设计，更进一步地减少了数控机床的加工误差，而且提高了执行部件的运行速度，该插补算法的优化设计为数控机床的优化设计提供了一种新思路和方法。该方法在天水星火机床厂某些车床上进行实验，取得了较好的经济效益。
参考文献：
[1]徐元昌.数控技术[M].北京：中国轻工业出版社，2004：9-18.
[2]任玉田.新编机床数控技术[M].北京：北京理工大学出版社，2009：136-152.
[3]常晓俊.数控机床逐点比较法插补直线分析[J].山西机械，2002，（5）.