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【摘要】“数学化”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔数学教育思想的核心。它是指人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织以发现其规律的过程。简而言之，“数学化”就是数学地组织现实世界的过程。帮助学生学会思维是数学教学的基本目标。
【关键词】小学数学；比例的意义；数学化探究
教学概念时，要指导学生领悟概念的本质，而不是记忆或者背诵概念的形式化定义。其核心是解决好“3W”问题：一是为什么（Why）：为什么学习这一概念？它在数学上、在生活中有什么用？二是是什么（What）：除了概念的形式化定义外，其本质是什么？其来龙去脉是什么？三是怎么样（How）：这个概念与其他概念之间有什么联系？怎样建构“概念图”？小学数学概念教学如何解決好“3W”问题呢？关键是将数学概念发生、发展的“历史进程”与学生建构数学概念“思维之道”相融合，在“数学化”的探究过程中指导学生领悟概念本质。下面，以六年级下册“比例的意义”这一教学过程为例，谈谈在“数学化”的探究过程中如何指导学生领悟概念本质。
一、教学过程
1.活动一
师：这两张照片形状都是长方形，长和宽各是多少呢？
生：图1长是6cm，宽是4cm；图2长是12cm，宽是8cm。
师：请同学们想一想：这两张照片有什么相同和不同的地方？
生1：大小不同，图2的面积比图1要大。把图2的长、宽与图1的长、宽进行比较，发现都变长了，所以，面积也随着变大了。
生2：图2和图1大小不同，形状相同。
师：你是怎样判断这两张照片的形状相同的？
生1：把图2 的长、宽和图1相对应的长、宽进行比较，动手算一算，发现长和宽都同时扩大了2倍，形状相同。
=2 =2
生2：图1长是宽的1.5倍，图2长也是宽的1.5倍，可以推断出这两个图形的形状相同。
=1.5 =1.5
生3：图1的宽是图2宽的，图1长也是图2长的，商相等，所以形状相同。
= =
……
师：两个数相除又叫做两个数的比。那么，这两道除法算式（生1）可以写成两个比：12：6==2；8：4==2。这两个比的比值相等，都是2，那么，这样两个比用式子表示为：12：6=8：4。
师：本节课教学内容是《比例的意义》，指导学生打开课本P40，画一画，读一读，质疑问难。
师：在上面的两张照片的长度中，还有哪些比可能组成比例？
6：4=12：8 6：12=4：8
……
师：“两张照片”对应量的比的比值相等，两个比可以组成比例，说明这两张照片大小不同，而形状相同。
2.活动二
课件呈现“两面国旗”，一面是操场上的国旗：长2.4米，宽1.6米；另一面是教室里的国旗：长60厘米（0.6米），宽40厘米（0.4米）。
师：这两面国旗的大小不同，形状相同吗？
生：形状相同。
师：你是怎样判断的？
生1：操场上的国旗长和宽的比是2.4：1.6，比值是1.5；教室里的国旗相对应的长和宽的比是0.6：0.4，比值也是1.5，两个比的比值相等，能组成比例，2.4：1.6=0.6：0.4。所以，这两面国旗的形状相同。
生2：操场上和教室里的国旗长的比是2.4：0.6，比值是4，相对应的宽的比是1.6：0.4，比值是4，两个比能组成比例，2.4：0.6=1.6：0.4
生3：……
师：在下图的三面国旗的尺寸中，还有哪些比能够组成比例？
生：……
小结：比值是否相等是判断两个比能否组成比例的根本标准。
师：请任意写出两个比，判断其是否能组成比例？
师：举例子说一说比和比例有什么联系和区别？
……
二、课后反思
这节课“知识与技能”这一教学目标是使学生理解比例的意义，会判断四个数是否能够组成比例。教学时，可从两个方面帮助学生建构数学认知结构：一是比例的现实意义；二是比例的数学意义。对于比例的现实意义的理解，重要的是帮助学生结合已有的生活经验，主动完成建构数学“现实模型”：创设现实问题情境，促使学生运用经验和直观表象联想到这两张照片虽然大小不同，但它的的形状是相同的；比例的数学意义着重回答“大小不同的两张照片，什么情况下形状会相同？”也就是说，脱离了“现实情境”，帮助学生从数学角度建构“数学模型”：两个比的比值相等。换言之，两个比组成比例，这两张照片的形状相同。
教学时，设计体现不同学习水平的数学学习探究活动，让学生亲历数学知识的形成过程，领悟概念的本质。一是横向数学化，建立数学和生活之间的联系，通过创设现实问题情境，引导学生利用已有的生活经验判断“怎样的两张相片大小虽然不同，而形状会相同？”帮助学生建立比例概念的“现实模型”；二是纵向数学化，建立数学与数学之间的联系。这此基础上，引导学生写出“长和宽”相对应的两个比，这就转化成一个“数学问题”，发现、探索和构建形状相同的两张相片，两个比的比值会怎样？学生在这一学习过程中发现“比值会相等”，从而引出“比例”这一数学概念，帮助学生建立比例概念的“数学模型”。进一步引导学生猜想：两个比的比值相等（组成比例），图形的形状相同。指导学生结合“在不同地方悬挂太小不同国旗”这一现实背景，再回到现实世界问题，检验、解释和揭示比例知识在日常生活当中的广泛应用。
【关键词】小学数学；比例的意义；数学化探究
教学概念时，要指导学生领悟概念的本质，而不是记忆或者背诵概念的形式化定义。其核心是解决好“3W”问题：一是为什么（Why）：为什么学习这一概念？它在数学上、在生活中有什么用？二是是什么（What）：除了概念的形式化定义外，其本质是什么？其来龙去脉是什么？三是怎么样（How）：这个概念与其他概念之间有什么联系？怎样建构“概念图”？小学数学概念教学如何解決好“3W”问题呢？关键是将数学概念发生、发展的“历史进程”与学生建构数学概念“思维之道”相融合，在“数学化”的探究过程中指导学生领悟概念本质。下面，以六年级下册“比例的意义”这一教学过程为例，谈谈在“数学化”的探究过程中如何指导学生领悟概念本质。
一、教学过程
1.活动一
师：这两张照片形状都是长方形，长和宽各是多少呢？
生：图1长是6cm，宽是4cm；图2长是12cm，宽是8cm。
师：请同学们想一想：这两张照片有什么相同和不同的地方？
生1：大小不同，图2的面积比图1要大。把图2的长、宽与图1的长、宽进行比较，发现都变长了，所以，面积也随着变大了。
生2：图2和图1大小不同，形状相同。
师：你是怎样判断这两张照片的形状相同的？
生1：把图2 的长、宽和图1相对应的长、宽进行比较，动手算一算，发现长和宽都同时扩大了2倍，形状相同。
=2 =2
生2：图1长是宽的1.5倍，图2长也是宽的1.5倍，可以推断出这两个图形的形状相同。
=1.5 =1.5
生3：图1的宽是图2宽的，图1长也是图2长的，商相等，所以形状相同。
= =
……
师：两个数相除又叫做两个数的比。那么，这两道除法算式（生1）可以写成两个比：12：6==2；8：4==2。这两个比的比值相等，都是2，那么，这样两个比用式子表示为：12：6=8：4。
师：本节课教学内容是《比例的意义》，指导学生打开课本P40，画一画，读一读，质疑问难。
师：在上面的两张照片的长度中，还有哪些比可能组成比例？
6：4=12：8 6：12=4：8
……
师：“两张照片”对应量的比的比值相等，两个比可以组成比例，说明这两张照片大小不同，而形状相同。
2.活动二
课件呈现“两面国旗”，一面是操场上的国旗：长2.4米，宽1.6米；另一面是教室里的国旗：长60厘米（0.6米），宽40厘米（0.4米）。
师：这两面国旗的大小不同，形状相同吗？
生：形状相同。
师：你是怎样判断的？
生1：操场上的国旗长和宽的比是2.4：1.6，比值是1.5；教室里的国旗相对应的长和宽的比是0.6：0.4，比值也是1.5，两个比的比值相等，能组成比例，2.4：1.6=0.6：0.4。所以，这两面国旗的形状相同。
生2：操场上和教室里的国旗长的比是2.4：0.6，比值是4，相对应的宽的比是1.6：0.4，比值是4，两个比能组成比例，2.4：0.6=1.6：0.4
生3：……
师：在下图的三面国旗的尺寸中，还有哪些比能够组成比例？
生：……
小结：比值是否相等是判断两个比能否组成比例的根本标准。
师：请任意写出两个比，判断其是否能组成比例？
师：举例子说一说比和比例有什么联系和区别？
……
二、课后反思
这节课“知识与技能”这一教学目标是使学生理解比例的意义，会判断四个数是否能够组成比例。教学时，可从两个方面帮助学生建构数学认知结构：一是比例的现实意义；二是比例的数学意义。对于比例的现实意义的理解，重要的是帮助学生结合已有的生活经验，主动完成建构数学“现实模型”：创设现实问题情境，促使学生运用经验和直观表象联想到这两张照片虽然大小不同，但它的的形状是相同的；比例的数学意义着重回答“大小不同的两张照片，什么情况下形状会相同？”也就是说，脱离了“现实情境”，帮助学生从数学角度建构“数学模型”：两个比的比值相等。换言之，两个比组成比例，这两张照片的形状相同。
教学时，设计体现不同学习水平的数学学习探究活动，让学生亲历数学知识的形成过程，领悟概念的本质。一是横向数学化，建立数学和生活之间的联系，通过创设现实问题情境，引导学生利用已有的生活经验判断“怎样的两张相片大小虽然不同，而形状会相同？”帮助学生建立比例概念的“现实模型”；二是纵向数学化，建立数学与数学之间的联系。这此基础上，引导学生写出“长和宽”相对应的两个比，这就转化成一个“数学问题”，发现、探索和构建形状相同的两张相片，两个比的比值会怎样？学生在这一学习过程中发现“比值会相等”，从而引出“比例”这一数学概念，帮助学生建立比例概念的“数学模型”。进一步引导学生猜想：两个比的比值相等（组成比例），图形的形状相同。指导学生结合“在不同地方悬挂太小不同国旗”这一现实背景，再回到现实世界问题，检验、解释和揭示比例知识在日常生活当中的广泛应用。