论文部分内容阅读
摘 要：近几年在高考题中的向量题型，常常是以向量形式给出一些条件，让学生判断其具备平面几何的某种性质，如三角形的“四心”. 本文就是对这类题型的规律进行探索，呈现解决这类问题的方法.
关键词：四心；重心定理；垂心定理；欧拉定理
三角形的“四心”，即三角形的重心、垂心、外心和内心.将向量与三角形的“四心”结合，是近几年高考的一个热点，也是学生学习的难点. 现结合近几年的高考题，分析向量与三角形的“四心”的常见题型和解决方法.
三角形的重心，是三角形三条中线的交点，常用的结论：三角形的重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2∶1；三角形的垂心，是三角形三条高的交点；三角形的外心，也是三角形外接圆的圆心，是三角形三条边的中垂线的交点；三角形的内心，也是三角形内切圆的圆心，是三角形三个角的角平分线的交点.
将平面向量与三角形的内心相结合考查
例1 O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足= λ
，λ∈[0， ∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的
（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
解析：因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1，e2. 又-=，则原式可化为=λ（e1 e2），由菱形的基本性质知，AP平分∠BAC，所以在△ABC中，AP平分∠BAC，则知选B.
点评：这道题给人的印象是既新颖，又陌生，但考查的都是最基础的知识. 新颖在将平面向量与三角形的四心相结合；陌生在表示什么，不知道. 考查的是基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质及单位向量等，比如：一个非零向量除以它的模就是一个单位向量，若对此类知识非常熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，则解这道题一点问题也没有了.
将平面向量与三角形的垂心相结合考查“垂心定理”
例2 P是△ABC所在平面上一点，若·=·=·，则P是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
解析：由·=·得·-·=0，
即·（-）=0，所以·=0，
则PB⊥CA. 同理PA⊥BC，PC⊥AB，
所以P为△ABC的垂心. 故答案为D.
点评：本题考查平面向量有关运算及“若两个非零向量的数量积为零，则这两个向量所在直线垂直”、三角形的垂心定义等相关知识. 它将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及两个向量的数量积为零的充要条件等相关知识巧妙结合.
将平面向量与三角形的重心相结合考查“重心定理”
例3 若O为△ABC内一点，且 =0，则O是△ABC的（ ）
A. 内心 B. 外心
C. 垂心 D. 重心
解析：由 =0，得 = -，
如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则 =，
由平行四边形性质知=，所以OA=2OE，
同理可证其他两边上的这个性质，所以O是△ABC的重心，故答案为D.
点评：本题需要平面几何的知识：平行四边形的对角线互相平分及三角形重心的性质：重心是三角形中线的内分点，所分的比为λ=. 本题在解题的过程中，将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心的性质等相关知识巧妙结合.
”的充要条件是“点O是正三角形P1P2P3的中心”.
例6 若O，H分别是△ABC的外心和垂心，求证：= .
证明：若△ABC的垂心为H，外心为O，如图3.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
所以AD⊥AB，CD⊥BC.
又垂心为H，AH⊥BC，CH⊥AB，
所以AH∥CD，CH∥AD，
所以四边形AHCD为平行四边形，
所以== ，
所以= = .
点评：著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外心与垂心连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.
平面向量与三角形的“四心”相结合考查时，首先要求掌握三角形的“四心”的概念及相关性质；其次需要将向量等式进行等价转化，转化为与三角形的中线、垂线、高或角平分线构成的向量或向量的模；最后需要具备推理论证的能力和运算求解的能力，借助于数形结合，将已知向量等式进行化归与转化，再利用平面几何的性质，从而解决平面向量与三角形的“四心”相结合的问题.
关键词：四心；重心定理；垂心定理；欧拉定理
三角形的“四心”，即三角形的重心、垂心、外心和内心.将向量与三角形的“四心”结合，是近几年高考的一个热点，也是学生学习的难点. 现结合近几年的高考题，分析向量与三角形的“四心”的常见题型和解决方法.
三角形的重心，是三角形三条中线的交点，常用的结论：三角形的重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2∶1；三角形的垂心，是三角形三条高的交点；三角形的外心，也是三角形外接圆的圆心，是三角形三条边的中垂线的交点；三角形的内心，也是三角形内切圆的圆心，是三角形三个角的角平分线的交点.
将平面向量与三角形的内心相结合考查
例1 O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足= λ
，λ∈[0， ∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的
（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
解析：因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1，e2. 又-=，则原式可化为=λ（e1 e2），由菱形的基本性质知，AP平分∠BAC，所以在△ABC中，AP平分∠BAC，则知选B.
点评：这道题给人的印象是既新颖，又陌生，但考查的都是最基础的知识. 新颖在将平面向量与三角形的四心相结合；陌生在表示什么，不知道. 考查的是基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质及单位向量等，比如：一个非零向量除以它的模就是一个单位向量，若对此类知识非常熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，则解这道题一点问题也没有了.
将平面向量与三角形的垂心相结合考查“垂心定理”
例2 P是△ABC所在平面上一点，若·=·=·，则P是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
解析：由·=·得·-·=0，
即·（-）=0，所以·=0，
则PB⊥CA. 同理PA⊥BC，PC⊥AB，
所以P为△ABC的垂心. 故答案为D.
点评：本题考查平面向量有关运算及“若两个非零向量的数量积为零，则这两个向量所在直线垂直”、三角形的垂心定义等相关知识. 它将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及两个向量的数量积为零的充要条件等相关知识巧妙结合.
将平面向量与三角形的重心相结合考查“重心定理”
例3 若O为△ABC内一点，且 =0，则O是△ABC的（ ）
A. 内心 B. 外心
C. 垂心 D. 重心
解析：由 =0，得 = -，
如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则 =，
由平行四边形性质知=，所以OA=2OE，
同理可证其他两边上的这个性质，所以O是△ABC的重心，故答案为D.
点评：本题需要平面几何的知识：平行四边形的对角线互相平分及三角形重心的性质：重心是三角形中线的内分点，所分的比为λ=. 本题在解题的过程中，将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心的性质等相关知识巧妙结合.
”的充要条件是“点O是正三角形P1P2P3的中心”.
例6 若O，H分别是△ABC的外心和垂心，求证：= .
证明：若△ABC的垂心为H，外心为O，如图3.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
所以AD⊥AB，CD⊥BC.
又垂心为H，AH⊥BC，CH⊥AB，
所以AH∥CD，CH∥AD，
所以四边形AHCD为平行四边形，
所以== ，
所以= = .
点评：著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外心与垂心连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.
平面向量与三角形的“四心”相结合考查时，首先要求掌握三角形的“四心”的概念及相关性质；其次需要将向量等式进行等价转化，转化为与三角形的中线、垂线、高或角平分线构成的向量或向量的模；最后需要具备推理论证的能力和运算求解的能力，借助于数形结合，将已知向量等式进行化归与转化，再利用平面几何的性质，从而解决平面向量与三角形的“四心”相结合的问题.