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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）12-0145-01
数学概念是数学科学知识体系的基础，是中学数学基础知识的核心，是数学思维的细胞。数学离不开推理，推理依靠判断，而判断又是经概念为基础的，深入理解数学概念的过程会使抽象逻辑思维得到锻炼，对提高思维能力有促进作用。在数学教学中一定要重视概念的教学，而概念引入是教学的第一步，是形成概念的重要基础。
引入数学概念的过程，就要揭示概念发生的实际背景和基础，了解该概念的必要性和合理性，并初步提示它的内涵和外延，给该概念下定义等。在这一过程中，应设法帮助学生完成由感性到理性的认识过渡，或者是帮助学生把新材料与原有认识结构建立实质的联系。因此，在教学中必须重视概念引入的教学设计，为学生提供丰富的直观背景素材，提出在趣生动、发人深省的问题，使学生经历概念的发生和形成的过程。
一、以感性材料为基础引入新概念。
用来引入数学概念的感性材料是十分多样的，可以是学生在日常生活中所接触到的事物，也可以是教材中的实际问题以及模型、图形、图表、影像等。在教学中，教师应有目的、有计划地列举出一些足以反映某一数学概念本质属性的直观感性实际素材，引导学生去观察、分析、抽象出它们在形成或数方面的共同属性，并在此基础上舍去其非本质属性、突出其本质属性，从而引入新概念。
例如，在平面几何教学中，在引入“平行线”概念时，可以先给出一些学生所熟悉的实例，象铁路上两条笔直的铁轨；黑板上、下两边
缘；教室里同一面上的两条墙角线，等等。给学生以“平行线”的形象；然后引导学生分析这些事物中的一对直线在位置的共同属性：在同一平面内、可无限延长，但總不相交；再用几何语言将属性精化表达为：在同一平面内不相交的两条直线；最后，正式引进“平行线”的概念，给出定义，并画出图形。
用感性材料引入概念，还包括从某类具体事物的客观规律实例出发，分析、归纳地引入新概念的方法。例如，从中学生在日常生活中已接触的大量的具有相反意义的量出发，举出气温的零上15°与零下3°、支出3元与收入15元、水位上升5cm与下降3cm等实例，分析其共性，为方便系统处理这些量，可归纳出统一的表示方法：其中一种量表示为带正号“+”的数，而另一种量表示为带负号“-”的数。这样上述各例中即可表示为+15°与-3°、-3元与+15元、+5cm与-3cm等。总括起来，就可以归纳地引进正数与负数的概念。又如，利用学生在小学已经学过的匀速运动中距离S、速度v和时间t的关系：S=vt，以及水箱容量V和余量Q，排水速度v和时间t的关系：Q=V-vt，精心设计一些具体实例，诸如S=15t+2，Q=60-4t等。然后分析这两个关系式的本质属性，归纳出y=kx+b（b≠0）的形式，从而给出一次函数的定义。
这样引入概念的方法，不仅由于丰富的感性材料而有利于学生接受新概念的存在性，而且在观察、分析、抽象概念本质特性的过程中，亦可发展学生的观察、分析、比较、归纳和抽象能力。在某种意义上讲，这样比机械地死记一些概念要有用得多。
应该指出，在用感性材料引入新概念时，应选择那些能够充分显示被引入概念的特征性质的事例，这样才能便于学生从事例中分析、归纳和抽象出共同的特征性质，这样形成的新概念才容易被学生所接受。
二、以已有知识为基础引入新概念。
学生已有的知识，也是引入新概念的直观背景材料，尽管这些知识本身也是抽象的，但学生已熟悉认可，因而也是相对直观、具体的了，特别是在教学科学中的概念，都是按一定逻辑规律构成了概念体系。各概念体系中的概念之间的逻辑联系，就给我们提供了引入概念的有利条件和方法，分析概念间的逻辑联系，也就是揭示了引入概念的必要性和合理性。因此，在教学中可以采取适当方法，以学生的已有概念为基础，揭示逻辑联系，引入新概念。
（1）通过与已有概念类比引入新概念。教学中有些概念的内涵有相似之处，把这些概念进行类比，明确其内涵的异同，利用已有概念揭示内涵引入新概念就是很自然的方法。例如，类比分数概念引入分式概念；类比方程（等式）概念引入不等式概念等；这属于并列学习。
（2）通过对已有概念的限制或概括引入新概念。数学中具有属种关系的概念的内涵与外延之间存在着“反变关系”，利用这种关系就可以逐步增加已有概念的内涵，引入外延较小的新概念（就是概念的限制）；也可以逐步减少已有概念的内涵，引入外延较大的新概念（就是概念的概括）。这种方法，概念的内涵明确，新概念的存在性显然，学生易于接受。例如，在初中代数中，通过对一般“等式”的概念的限制，在其内涵中增加“含有未知数”这一本质属性，就可以引进“方程”这一新概念的定义；在几何中，通过对“全等三角形”概念的概括，在其内涵“三个内角对应相等”且“三边对应相等（或说，三边对应成比例且比值为1）”中，减少“比值为1”这一属性，就可以引进外延较大的新概念“相似三角形”了，事实上，在初中数学教学中这种归属学习和总括学习，更便于建立概念体系，有利于概念的掌握与运用。
（3）通过运算间的关系引入新概念。数学中有些与运算相关的概念，常和另一些与运算相关的概念之间，存在着互逆或互反的关系。对于这类概念，可以通过讲清两类概念间的关系来引入新概念。例如，有理数的减法和除法的概念，可以在分别复习小学算术中学过的“加法与减法”、“乘法与除法”的关系的基础上，直接引入：“有理数减法是加法的逆运算”、“有理数的除法是乘法的逆运算”。
三、以揭示事物发生的过程引入新概念。
数学中有些概念是用发生式定义的，因此可以采用揭示事物发生的过程的方法引入这类概念，在教学中，一般通过演示活动的直观教具或演示画图说明的方法，揭示事物发生过程，从而引入蕴含于其中的概念。例如，几何中的平角、周角、圆及圆周角等概念都可以这样引入，这种方法生动、直观，具有运动变化的观点，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。
此外，对有些数学概念定义的合理性问题，在引入这些概念的过程中必须给予特别说明，这样才能使学生较好地得到理解。例如，在定义零指数、负整数指数幂时，要分别说明a0=1（a≠0），a-m=（m为整数且a≠0）的规定与原有的正整数指数幂的除法法则的一致性；在定义有理数加法、乘法法则时，要分别说明运算法则符合原有算术中数的加法、乘法运算的规律和客观实际。
总之，概念的引入要从实际出发，精心设计、认真对待；采取不同的方法，引导学生观察、分析、比较、抽象，揭示对象的本质属性，适时地引进新概念，为深入理解、牢固掌握和灵活运用概念打下基础。
数学概念是数学科学知识体系的基础，是中学数学基础知识的核心，是数学思维的细胞。数学离不开推理，推理依靠判断，而判断又是经概念为基础的，深入理解数学概念的过程会使抽象逻辑思维得到锻炼，对提高思维能力有促进作用。在数学教学中一定要重视概念的教学，而概念引入是教学的第一步，是形成概念的重要基础。
引入数学概念的过程，就要揭示概念发生的实际背景和基础，了解该概念的必要性和合理性，并初步提示它的内涵和外延，给该概念下定义等。在这一过程中，应设法帮助学生完成由感性到理性的认识过渡，或者是帮助学生把新材料与原有认识结构建立实质的联系。因此，在教学中必须重视概念引入的教学设计，为学生提供丰富的直观背景素材，提出在趣生动、发人深省的问题，使学生经历概念的发生和形成的过程。
一、以感性材料为基础引入新概念。
用来引入数学概念的感性材料是十分多样的，可以是学生在日常生活中所接触到的事物，也可以是教材中的实际问题以及模型、图形、图表、影像等。在教学中，教师应有目的、有计划地列举出一些足以反映某一数学概念本质属性的直观感性实际素材，引导学生去观察、分析、抽象出它们在形成或数方面的共同属性，并在此基础上舍去其非本质属性、突出其本质属性，从而引入新概念。
例如，在平面几何教学中，在引入“平行线”概念时，可以先给出一些学生所熟悉的实例，象铁路上两条笔直的铁轨；黑板上、下两边
缘；教室里同一面上的两条墙角线，等等。给学生以“平行线”的形象；然后引导学生分析这些事物中的一对直线在位置的共同属性：在同一平面内、可无限延长，但總不相交；再用几何语言将属性精化表达为：在同一平面内不相交的两条直线；最后，正式引进“平行线”的概念，给出定义，并画出图形。
用感性材料引入概念，还包括从某类具体事物的客观规律实例出发，分析、归纳地引入新概念的方法。例如，从中学生在日常生活中已接触的大量的具有相反意义的量出发，举出气温的零上15°与零下3°、支出3元与收入15元、水位上升5cm与下降3cm等实例，分析其共性，为方便系统处理这些量，可归纳出统一的表示方法：其中一种量表示为带正号“+”的数，而另一种量表示为带负号“-”的数。这样上述各例中即可表示为+15°与-3°、-3元与+15元、+5cm与-3cm等。总括起来，就可以归纳地引进正数与负数的概念。又如，利用学生在小学已经学过的匀速运动中距离S、速度v和时间t的关系：S=vt，以及水箱容量V和余量Q，排水速度v和时间t的关系：Q=V-vt，精心设计一些具体实例，诸如S=15t+2，Q=60-4t等。然后分析这两个关系式的本质属性，归纳出y=kx+b（b≠0）的形式，从而给出一次函数的定义。
这样引入概念的方法，不仅由于丰富的感性材料而有利于学生接受新概念的存在性，而且在观察、分析、抽象概念本质特性的过程中，亦可发展学生的观察、分析、比较、归纳和抽象能力。在某种意义上讲，这样比机械地死记一些概念要有用得多。
应该指出，在用感性材料引入新概念时，应选择那些能够充分显示被引入概念的特征性质的事例，这样才能便于学生从事例中分析、归纳和抽象出共同的特征性质，这样形成的新概念才容易被学生所接受。
二、以已有知识为基础引入新概念。
学生已有的知识，也是引入新概念的直观背景材料，尽管这些知识本身也是抽象的，但学生已熟悉认可，因而也是相对直观、具体的了，特别是在教学科学中的概念，都是按一定逻辑规律构成了概念体系。各概念体系中的概念之间的逻辑联系，就给我们提供了引入概念的有利条件和方法，分析概念间的逻辑联系，也就是揭示了引入概念的必要性和合理性。因此，在教学中可以采取适当方法，以学生的已有概念为基础，揭示逻辑联系，引入新概念。
（1）通过与已有概念类比引入新概念。教学中有些概念的内涵有相似之处，把这些概念进行类比，明确其内涵的异同，利用已有概念揭示内涵引入新概念就是很自然的方法。例如，类比分数概念引入分式概念；类比方程（等式）概念引入不等式概念等；这属于并列学习。
（2）通过对已有概念的限制或概括引入新概念。数学中具有属种关系的概念的内涵与外延之间存在着“反变关系”，利用这种关系就可以逐步增加已有概念的内涵，引入外延较小的新概念（就是概念的限制）；也可以逐步减少已有概念的内涵，引入外延较大的新概念（就是概念的概括）。这种方法，概念的内涵明确，新概念的存在性显然，学生易于接受。例如，在初中代数中，通过对一般“等式”的概念的限制，在其内涵中增加“含有未知数”这一本质属性，就可以引进“方程”这一新概念的定义；在几何中，通过对“全等三角形”概念的概括，在其内涵“三个内角对应相等”且“三边对应相等（或说，三边对应成比例且比值为1）”中，减少“比值为1”这一属性，就可以引进外延较大的新概念“相似三角形”了，事实上，在初中数学教学中这种归属学习和总括学习，更便于建立概念体系，有利于概念的掌握与运用。
（3）通过运算间的关系引入新概念。数学中有些与运算相关的概念，常和另一些与运算相关的概念之间，存在着互逆或互反的关系。对于这类概念，可以通过讲清两类概念间的关系来引入新概念。例如，有理数的减法和除法的概念，可以在分别复习小学算术中学过的“加法与减法”、“乘法与除法”的关系的基础上，直接引入：“有理数减法是加法的逆运算”、“有理数的除法是乘法的逆运算”。
三、以揭示事物发生的过程引入新概念。
数学中有些概念是用发生式定义的，因此可以采用揭示事物发生的过程的方法引入这类概念，在教学中，一般通过演示活动的直观教具或演示画图说明的方法，揭示事物发生过程，从而引入蕴含于其中的概念。例如，几何中的平角、周角、圆及圆周角等概念都可以这样引入，这种方法生动、直观，具有运动变化的观点，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。
此外，对有些数学概念定义的合理性问题，在引入这些概念的过程中必须给予特别说明，这样才能使学生较好地得到理解。例如，在定义零指数、负整数指数幂时，要分别说明a0=1（a≠0），a-m=（m为整数且a≠0）的规定与原有的正整数指数幂的除法法则的一致性；在定义有理数加法、乘法法则时，要分别说明运算法则符合原有算术中数的加法、乘法运算的规律和客观实际。
总之，概念的引入要从实际出发，精心设计、认真对待；采取不同的方法，引导学生观察、分析、比较、抽象，揭示对象的本质属性，适时地引进新概念，为深入理解、牢固掌握和灵活运用概念打下基础。