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2013年高考日益临近，经过高三年级一个学期的复习，高中数学的主体知识、重要技能都应该已经复习. 在最后这几个月，我们还应做些什么？许多教师和学生都很迷茫. 实际上这段时间如果学法得当，还可以大有作为. 笔者根据自己多年的高三教学经验，思考了高三最后阶段还应该注意的几个方面的问题，供大家参考.
一、回归课本，深度挖掘
（一）重视概念，有效理解
“概念性强”这是考试说明中提到的数学考试的第一个学科特点，而数学的学科特点是高考数学命题的基础，“数学概念”既是数学基础知识，又是数学核心知识，而一些重要概念又成为基础的基础，对学生理解数学、掌握数学具有至关重要的意义.
案例1 给出下列命题：
①向量■与向量■的长度相等，方向相反；②■+■=0；③a与b平行，则a与b的方向相同或相反；④两个相等向量的起点相同，则其中点必相同；⑤■与■是共线向量，则A，B，C，D四点共线；其中不正确的命题个数是_________.
【分析】对零向量，规定与任意向量是共线的，而方向相同、相反只适用于非零向量.新教材有的地方对概念教学的要求是知道就行，需要某个概念时，就在旁边用小字给出. 这样过高地估计了学生的理解能力，也是造成学生不会解题的一个原因.
从以上的例子可以看出，数学是由概念、命题组成的逻辑系统，而概念是基础，是使整个体系连接成一体的纽带. 数学中每一个术语、符号和习惯用语都有着明确具体的内涵，这个特点反映在考试中就要求考生在解题时，首先要透彻理解概念的含义.
（二）突出经典，适度延伸
这些年的高考试题都不是模拟题的再现，而是经过加工的，有些还直接取自教材，绝大多数题目材料背景熟悉、设问方式常规、解题方法基本，给人以“题在书外、根在书中”的感觉.
案例2 [人教版教材选修2-2第32页]利用函数的单调性，证明不等式ex≥x+1.
【分析】通过一个课本典型习题让学生回忆、熟悉导数在解决函数与不等式问题中的作用，为后面的深入学习作好准备. 可以说，这道题是后面例题的题根. 为此，可通过几何画板作出函数f（x）=ex-1-x的图象，通过数形结合加深印象.
延伸1 [2011年高考湖北卷第21（Ⅰ）题]已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值.
【分析】这题与课本习题有什么联系？学生不难发现这两题的解题方法是一样的，而且结果可以互相转化，ex≥x+1？圳lnx≤x-1（x>0），数学本质是一样的.
延伸2 [据2010 年全国卷1第20题改编]已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1.
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥0.
【分析】第一小题可用“分离变量法”；第二小题则应该用“分类讨论法”. 这两种方法是导数综合问题的常见策略和方法. 另外，每个小题都可以“一题多解”，这可不是简单的“一题多解”，而是数学学习的“返璞归真”，让学生始终把握导数运用的自然性和合理性.
在考试中，我们经常会看到一些似曾相识的题目，但只是改了一些符号、数字，学生们就会觉得无所适从，归根结底就在于平时缺乏对题型结构的反思意识，因为很多所谓的难题都有它们的背景，决不是空穴来风. 本题的解题方法，不是简单奉送，而是水到渠成，尤其要自然地让学生产生思维共振，不知不觉地突发奇思妙想.
（三）强化过程，深度探究
案例3 [人教版教材选修2-1第39页]椭圆就是集合{■MF1+MF2=2a}，因为MF1=■，MF2=■，得方程■+■=2a，移项、两边平方得（x+c）2+y2=4a2-4a■+（x-c）2+y2，a2-cx=
a■，两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-
2a2cx+a2c2+a2y2，（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），令a2-c2=b2，整理得■+■=1.
【分析】在高考复习的最后阶段回归课本，一方面是对课本基础知识进行回顾，另一方面引导学生再一次探究课本知识，发现课本知识的另一面，从而领会高考来源于课本而高于课本的含义.
探究1：由上面得■=a-ex，即为MF2=a-ex；若另一种移法可得MF1=a+ex. 这是焦半径公式.
探究2：■=■，这是椭圆的第二定义.
应用：在△ABC中，a=10，c-b=8，
思考1 求点A的轨迹.
【分析】根据双曲线定义，知道点A尽管在变化，但永远在双曲线的右支上且不在线段BC上，如果以所在直线为x轴，以线段BC中点为原点建立坐标系，轨迹对应的方程为■+■=1（x>4）.
思考2 探求△ABC的内切圆与边BC的切点.
【分析】利用双曲线第一定义可以证明切点就是双曲线的右顶点.
思考3 求tan■cot■的值.
【分析】由■，■联想到角平分线和内切圆，如果设△ABC内切圆的半径为R，tan■cot■=■·■=■.
由三角求值问题联想到解析几何知识，对学生要求较高，但是把求值问题拆成几个小题，就大大降低了难度，可以激发学生用定义解题的兴趣.
二、强化训练，侧重能力
数学高考的重点和永恒的主题是“能力考查和测试”，能力的培养与训练是高考复习的重中之重，特别是要培养运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力和分析解决问题能力，在这个基础上还要注意能力的细化和立新，如收集和处理信息能力、语言文字表达能力、抽象归纳能力等.
（一）定点训练，落实运算 运算能力是高考考查的重点，运算能力的高低主要取决于对基础知识和基本技能的掌握程度，它是考试成功的根本.
案例4 设F1，F2分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点. 若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 .
【分析】此题考查的主要是运算能力，最简单的方法是“数形结合”. 依题意可知△PF1F2是等腰三角形，F2到PF1的距离是等腰三角形PF1F2底边上的高. 设此高交PF1于点M，因为F2M=2a，F1F2=2c，所以F1M=2b，PF1=4b，因为PF1-PF2=2a，所以4b-2c=2a，又a2+b2=c2，消去c2，得4a=3b，故双曲线的渐近线方程为4x±3y=0.
（二）定时训练，强化阅读
现在的试卷都有很大的阅读量，在规定时间内完成阅读并理解题意是考试成功的关键.
案例5 设函数的集合P={f（x）=log2（x+a）+■=-■，0，■；b=-1，0，1}，平面上点的集合Q={■=-■，0，■，1；y=-1，0，1}，则在同一直角坐标系中，P中的函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 .
【分析】此题考查的主要是阅读理解能力，通过观察，发现：集合P，Q是有联系、有共性的，先写出集合Q的元素（-■，-1），（-■，0），（-■，1），（0，-1），（0，0），（0，1），（■，-1），（■，0），（■，1）（1，-1），（1，0），（0，1），悟出：题目中给出了12个函数，要求这12个函数中有几个函数的图象恰好过上述12个点中的两个点，注意到真数大于零，对数值为整数，经过试验，可得个数为6.
（三）定向训练，突出思维
很多学生在思维上都有自己的薄弱点，在最后复习阶段明确自己的薄弱点，有针对性的加以强化训练，是考试成功的保障.
案例6 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方法共有 种（用数字作答）.
【分析】本题主要考查逻辑思维能力，第一步，上午测试共有■=24种方式. 第二步，下午，可以就上午测试“台阶”的这个人分类，如果他选择了测试“握力”，其他三位同学就有2种方式；如果他选择的不是“握力”，而是其余三个项目中的一个，他选到哪个项目，下一步就让上午测试这个项目的人先选，也有3种选法，共有3×3×1×1=9. 所以下午共有2+9=11种方法，故一天共有24×11=264种方法.
三、归纳整理，揭示本质
数学题在这之前已做得不少，试卷上有我们辛勤的血汗，更有我们的经验和教训，教师要引导学生将这些宝贵财富充分利用，有针对性地进行归纳和整理. 如函数的定义域、值域、基本性质、图象问题等. 应熟悉其基本知识、基本策略和基本数学思想方法. 与导数相结合可以解决函数中的三大问题：求函数的单调区间、求函数的极值、求函数的最值等. 而考查不等式恒成立时，常用的方法为函数方法、参变量分离、数形结合等.
案例7 [2011年高考浙江卷]设函数f（x）=（x-a）2-lnx，a∈R.
（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.
【分析】第（1）小题比较容易解决.由f′（e）=0，可求得a=e或a=3e再检验.第（2）小题是通常的含参数不等式恒成立求参数范围问题，注意到当x∈（0，1]时，不等式（x-a）2-lnx≤4e2恒成立.
方法1（函数方法） 先特殊化，由f（3e）≤4e2，得到实数a的取值范围为3e-■≤a≤3e+■，再求f（x）的最大值，为此，要研究f（x）的单调性，通过对f（x）求导，估计零点，从而解决问题，但解题过程曲折繁冗，学生一般想得到，但解决不了.
方法2（参变量分离） 因为x∈（1，3e]，所以lnx>0，可以参变量分离，转化为x∈（1，3e]时，不等式a≥x-■，及a≤x+■恒成立，令g（x）=x-■，x∈（1，3e]，h（x）=x+■，x∈（1，3e]，求y=g（x）的最大值及y=h（x）的最小值，求得3e-■≤a≤3e.
方法3（数形结合） 将不等式转化为■≤■，问题转化为h（x）=■，x∈（0，3e]的图象在g（x）=■，x∈（0，3e]的图象下方，利用数形结合思想就可以解决.
应用 [2012年高考山东卷第22（3）题]已知函数f（x）=■（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行. 设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数.
证明：对任意x>0，g（x）<1+e-2.
【分析】g（x）=（x2+x）■=■，（1）当x≥1，1-x2≤0，lnx≥0，x2+x>0时，g（x）≤0<1+e-2. （2）当00；当x∈（e-2，1）时，q′（x）<0，则当00，则■≥■=1，于是可知当00，g（x）<1+e-2恒成立.
以上2个高考题在方法上有类似之处，所以只有加强数学知识内在的联系，抓住数学的本质，突出基本方法的理解和运用，突出思维能力的培养，才能真正提高学生的数学素质.
四、调整心态，关注方法
在最后阶段，我们还会进行各种模拟练习. 教师要引导学生重视这种机会，不能光顾成绩，而应针对练习中出现的各种情况，想好应对之策，以形成良好的考试心态. 一张试卷肯定有自己不会的或暂时不能解决的问题，当出现这种情形时心里急是解决不了问题的，只会增加心理负担，要有一些良好心态的提示，乐观地应考，不要为一时得失而悲观失望，相信一张试卷发挥失常绝对不是因为那个难题的拖累，而是自己会做的题目失分了.要注意解题速度和各大题的做题时间，高考是在单位时间内完成一张试卷，题量是相对固定的. 主观题的时间最好在45分钟内解决，每一题要细心，认真对待. 任何一题不读三遍不动手，读了三遍没感觉暂时不做，不能因个别题而花大量时间. 不会做就坚决跳过去，由于近年高考题大题的难度是多层次给分，对于最后的两个大题前一、二问的得分可能不是太难，一定要做.
要重视第一印象. 心理学研究表明，考生在接触试题时大脑皮层处于高度兴奋状态，对新事物的反应灵敏，容易迅速作出决定. 经验表明，第一感觉的正确率在80%以上. 因此，不要轻易改动第一次作出的选择. 在检查的时候，不要按照第一次答题的角度去考虑，应该从另外一个角度去思考，这样才能提高检查的正确率.
一、回归课本，深度挖掘
（一）重视概念，有效理解
“概念性强”这是考试说明中提到的数学考试的第一个学科特点，而数学的学科特点是高考数学命题的基础，“数学概念”既是数学基础知识，又是数学核心知识，而一些重要概念又成为基础的基础，对学生理解数学、掌握数学具有至关重要的意义.
案例1 给出下列命题：
①向量■与向量■的长度相等，方向相反；②■+■=0；③a与b平行，则a与b的方向相同或相反；④两个相等向量的起点相同，则其中点必相同；⑤■与■是共线向量，则A，B，C，D四点共线；其中不正确的命题个数是_________.
【分析】对零向量，规定与任意向量是共线的，而方向相同、相反只适用于非零向量.新教材有的地方对概念教学的要求是知道就行，需要某个概念时，就在旁边用小字给出. 这样过高地估计了学生的理解能力，也是造成学生不会解题的一个原因.
从以上的例子可以看出，数学是由概念、命题组成的逻辑系统，而概念是基础，是使整个体系连接成一体的纽带. 数学中每一个术语、符号和习惯用语都有着明确具体的内涵，这个特点反映在考试中就要求考生在解题时，首先要透彻理解概念的含义.
（二）突出经典，适度延伸
这些年的高考试题都不是模拟题的再现，而是经过加工的，有些还直接取自教材，绝大多数题目材料背景熟悉、设问方式常规、解题方法基本，给人以“题在书外、根在书中”的感觉.
案例2 [人教版教材选修2-2第32页]利用函数的单调性，证明不等式ex≥x+1.
【分析】通过一个课本典型习题让学生回忆、熟悉导数在解决函数与不等式问题中的作用，为后面的深入学习作好准备. 可以说，这道题是后面例题的题根. 为此，可通过几何画板作出函数f（x）=ex-1-x的图象，通过数形结合加深印象.
延伸1 [2011年高考湖北卷第21（Ⅰ）题]已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值.
【分析】这题与课本习题有什么联系？学生不难发现这两题的解题方法是一样的，而且结果可以互相转化，ex≥x+1？圳lnx≤x-1（x>0），数学本质是一样的.
延伸2 [据2010 年全国卷1第20题改编]已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1.
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥0.
【分析】第一小题可用“分离变量法”；第二小题则应该用“分类讨论法”. 这两种方法是导数综合问题的常见策略和方法. 另外，每个小题都可以“一题多解”，这可不是简单的“一题多解”，而是数学学习的“返璞归真”，让学生始终把握导数运用的自然性和合理性.
在考试中，我们经常会看到一些似曾相识的题目，但只是改了一些符号、数字，学生们就会觉得无所适从，归根结底就在于平时缺乏对题型结构的反思意识，因为很多所谓的难题都有它们的背景，决不是空穴来风. 本题的解题方法，不是简单奉送，而是水到渠成，尤其要自然地让学生产生思维共振，不知不觉地突发奇思妙想.
（三）强化过程，深度探究
案例3 [人教版教材选修2-1第39页]椭圆就是集合{■MF1+MF2=2a}，因为MF1=■，MF2=■，得方程■+■=2a，移项、两边平方得（x+c）2+y2=4a2-4a■+（x-c）2+y2，a2-cx=
a■，两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-
2a2cx+a2c2+a2y2，（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），令a2-c2=b2，整理得■+■=1.
【分析】在高考复习的最后阶段回归课本，一方面是对课本基础知识进行回顾，另一方面引导学生再一次探究课本知识，发现课本知识的另一面，从而领会高考来源于课本而高于课本的含义.
探究1：由上面得■=a-ex，即为MF2=a-ex；若另一种移法可得MF1=a+ex. 这是焦半径公式.
探究2：■=■，这是椭圆的第二定义.
应用：在△ABC中，a=10，c-b=8，
思考1 求点A的轨迹.
【分析】根据双曲线定义，知道点A尽管在变化，但永远在双曲线的右支上且不在线段BC上，如果以所在直线为x轴，以线段BC中点为原点建立坐标系，轨迹对应的方程为■+■=1（x>4）.
思考2 探求△ABC的内切圆与边BC的切点.
【分析】利用双曲线第一定义可以证明切点就是双曲线的右顶点.
思考3 求tan■cot■的值.
【分析】由■，■联想到角平分线和内切圆，如果设△ABC内切圆的半径为R，tan■cot■=■·■=■.
由三角求值问题联想到解析几何知识，对学生要求较高，但是把求值问题拆成几个小题，就大大降低了难度，可以激发学生用定义解题的兴趣.
二、强化训练，侧重能力
数学高考的重点和永恒的主题是“能力考查和测试”，能力的培养与训练是高考复习的重中之重，特别是要培养运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力和分析解决问题能力，在这个基础上还要注意能力的细化和立新，如收集和处理信息能力、语言文字表达能力、抽象归纳能力等.
（一）定点训练，落实运算 运算能力是高考考查的重点，运算能力的高低主要取决于对基础知识和基本技能的掌握程度，它是考试成功的根本.
案例4 设F1，F2分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点. 若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 .
【分析】此题考查的主要是运算能力，最简单的方法是“数形结合”. 依题意可知△PF1F2是等腰三角形，F2到PF1的距离是等腰三角形PF1F2底边上的高. 设此高交PF1于点M，因为F2M=2a，F1F2=2c，所以F1M=2b，PF1=4b，因为PF1-PF2=2a，所以4b-2c=2a，又a2+b2=c2，消去c2，得4a=3b，故双曲线的渐近线方程为4x±3y=0.
（二）定时训练，强化阅读
现在的试卷都有很大的阅读量，在规定时间内完成阅读并理解题意是考试成功的关键.
案例5 设函数的集合P={f（x）=log2（x+a）+■=-■，0，■；b=-1，0，1}，平面上点的集合Q={■=-■，0，■，1；y=-1，0，1}，则在同一直角坐标系中，P中的函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 .
【分析】此题考查的主要是阅读理解能力，通过观察，发现：集合P，Q是有联系、有共性的，先写出集合Q的元素（-■，-1），（-■，0），（-■，1），（0，-1），（0，0），（0，1），（■，-1），（■，0），（■，1）（1，-1），（1，0），（0，1），悟出：题目中给出了12个函数，要求这12个函数中有几个函数的图象恰好过上述12个点中的两个点，注意到真数大于零，对数值为整数，经过试验，可得个数为6.
（三）定向训练，突出思维
很多学生在思维上都有自己的薄弱点，在最后复习阶段明确自己的薄弱点，有针对性的加以强化训练，是考试成功的保障.
案例6 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方法共有 种（用数字作答）.
【分析】本题主要考查逻辑思维能力，第一步，上午测试共有■=24种方式. 第二步，下午，可以就上午测试“台阶”的这个人分类，如果他选择了测试“握力”，其他三位同学就有2种方式；如果他选择的不是“握力”，而是其余三个项目中的一个，他选到哪个项目，下一步就让上午测试这个项目的人先选，也有3种选法，共有3×3×1×1=9. 所以下午共有2+9=11种方法，故一天共有24×11=264种方法.
三、归纳整理，揭示本质
数学题在这之前已做得不少，试卷上有我们辛勤的血汗，更有我们的经验和教训，教师要引导学生将这些宝贵财富充分利用，有针对性地进行归纳和整理. 如函数的定义域、值域、基本性质、图象问题等. 应熟悉其基本知识、基本策略和基本数学思想方法. 与导数相结合可以解决函数中的三大问题：求函数的单调区间、求函数的极值、求函数的最值等. 而考查不等式恒成立时，常用的方法为函数方法、参变量分离、数形结合等.
案例7 [2011年高考浙江卷]设函数f（x）=（x-a）2-lnx，a∈R.
（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.
【分析】第（1）小题比较容易解决.由f′（e）=0，可求得a=e或a=3e再检验.第（2）小题是通常的含参数不等式恒成立求参数范围问题，注意到当x∈（0，1]时，不等式（x-a）2-lnx≤4e2恒成立.
方法1（函数方法） 先特殊化，由f（3e）≤4e2，得到实数a的取值范围为3e-■≤a≤3e+■，再求f（x）的最大值，为此，要研究f（x）的单调性，通过对f（x）求导，估计零点，从而解决问题，但解题过程曲折繁冗，学生一般想得到，但解决不了.
方法2（参变量分离） 因为x∈（1，3e]，所以lnx>0，可以参变量分离，转化为x∈（1，3e]时，不等式a≥x-■，及a≤x+■恒成立，令g（x）=x-■，x∈（1，3e]，h（x）=x+■，x∈（1，3e]，求y=g（x）的最大值及y=h（x）的最小值，求得3e-■≤a≤3e.
方法3（数形结合） 将不等式转化为■≤■，问题转化为h（x）=■，x∈（0，3e]的图象在g（x）=■，x∈（0，3e]的图象下方，利用数形结合思想就可以解决.
应用 [2012年高考山东卷第22（3）题]已知函数f（x）=■（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行. 设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数.
证明：对任意x>0，g（x）<1+e-2.
【分析】g（x）=（x2+x）■=■，（1）当x≥1，1-x2≤0，lnx≥0，x2+x>0时，g（x）≤0<1+e-2. （2）当0
以上2个高考题在方法上有类似之处，所以只有加强数学知识内在的联系，抓住数学的本质，突出基本方法的理解和运用，突出思维能力的培养，才能真正提高学生的数学素质.
四、调整心态，关注方法
在最后阶段，我们还会进行各种模拟练习. 教师要引导学生重视这种机会，不能光顾成绩，而应针对练习中出现的各种情况，想好应对之策，以形成良好的考试心态. 一张试卷肯定有自己不会的或暂时不能解决的问题，当出现这种情形时心里急是解决不了问题的，只会增加心理负担，要有一些良好心态的提示，乐观地应考，不要为一时得失而悲观失望，相信一张试卷发挥失常绝对不是因为那个难题的拖累，而是自己会做的题目失分了.要注意解题速度和各大题的做题时间，高考是在单位时间内完成一张试卷，题量是相对固定的. 主观题的时间最好在45分钟内解决，每一题要细心，认真对待. 任何一题不读三遍不动手，读了三遍没感觉暂时不做，不能因个别题而花大量时间. 不会做就坚决跳过去，由于近年高考题大题的难度是多层次给分，对于最后的两个大题前一、二问的得分可能不是太难，一定要做.
要重视第一印象. 心理学研究表明，考生在接触试题时大脑皮层处于高度兴奋状态，对新事物的反应灵敏，容易迅速作出决定. 经验表明，第一感觉的正确率在80%以上. 因此，不要轻易改动第一次作出的选择. 在检查的时候，不要按照第一次答题的角度去考虑，应该从另外一个角度去思考，这样才能提高检查的正确率.