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教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第十一册第79～80页的内容。
教学过程：
一、设疑——控疑——存疑
师(电脑出示)：“龙长高速公路有限公司要修一段长30千米的公路路基，现在有甲、乙两个工程队参加修路招标，甲队单独修10天完成。”从以上条件，我们可以获得什么信息?
生1：甲队每天修3千米。
生2：甲队每天修这条公路的1／10。
师(电脑继续出示)：“乙队单独修15天完成。”从以上条件，我们又可以获得什么信息?
生3：乙队每天修2千米。
生4：乙队每天修这条公路的1／15。
生5：乙队比甲队多用5天。
师：假如你是龙长高速公路有限公司的总经理，你会承包给谁?为什么?
生6：甲队。因为甲队做得快!
生7：乙队。乙队虽然较慢，但可以便宜一点。
师：你们想得真有道理!如果要修得快，怎么办?
生8：让甲队修。
师：还有其他办法吗?
生9：可以让两个队一起修。
师：这个主意真不错!现在就让两个队一起修路，看一看几天能修完?(出示完整应用题如下：龙长高速公路有限公司要修一段长30千米的公路路基，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。两个队合修几天完成?)
[评析：龙长高速公路从龙岩市新罗区至长汀县，是正在修筑的现代化公路，正从该校附近经过。教者把教材中的例题融合在学生熟悉的“修路问题”中，使学生首先感受到在学习“有价值的数学”。本过程的教学艺术主要在于：一是设疑的开放性。如两次“获得什么信息”与“你会承包给谁”这些答案都不是唯一的，必须经过一定的数学思考，才能得出理想的答案。二是控疑的巧妙性。如让学生说出选哪个队修路的理由，学生说得都有道理，但不是本课设疑中要生成的问题，教师先给以肯定。然后通过“如果要修得快，怎么办”来控疑，又通过“还有其他办法吗”进一步控疑，引导预设中的生成。三是存疑的必然性。在控疑中生成有教学价值的问题．把它纳入教学过程，在此显得水到渠成，斧凿无痕。本片断融温故引新于一体，简洁明快，直奔新课教学。]
二、猜想——验证——拓展
1．猜想。
师：请同学们在计算之前先猜一猜两队合修需要的天数大概是多少?你是怎样想的?
(学生猜2天、3天、5天、12．5天、25天……由于答案较多，教师分别板书学生所说的天数，并点拨学生自悟得出“两队合修的天数比10天少”)
2．验证。
师：刚才大家得出最后结论是“比10天少”，现在我们来验证一下。请同学们思考后，列式解答。(师巡视并指名学生板书)
生1：30÷10 30÷15＝5(天)。
生2：30÷(30÷10 30÷15)=6(天)。
师：请你们分别说一说算式的每一步含义。(引导学生得出第一种方法求出的是两队合做1天修的路长，即工作效率和，而不是最后要求的天数；第二种方法是正确的，即工作总量÷工作效率和=合做时间。随后，教师进一步指出最后猜想的正确性。)
3．拓展。
师：如果把30千米改成60千米，其他条件不变，你能很快算出要修多少天吗?(学生计算，师指名学生板演)
生3：60÷(60÷10 60÷15)=6(天)。
师：仔细比较这两题，你发现了什么?
生4：合做时间都是6天。
师：这就怪了！如果公路总长再改成其他的数量，其余条件还是不变，结果还会是6天吗?
师：请同学们选择一个你喜欢的数字作为公路的长度试一试，数字比较大的可以用计算器计算。(指名学生板演，再分别请几个学生举例说明)
师：试验的结果还是这样吗?为什么会这样呢?
生5：还是6天。工作总量扩大了，工作效率也在扩大，扩大的倍数相同，所以时间不变。
生6：我发现无论公路多长，甲、乙两队每天修的各占总长的几分之几不变。
生7：无论公路多长，只要各自单独做的效率不变，合做的时间就不会变。
师：你们说得很有道理！那么，如果没有具体的公路长度，还能不能解答?
师：会做的同学可直接动笔列式解答，有困难的同学可以结合屏幕上的提示进行思考，也可以小组讨论，试着列式解答。
提示如下：
(1)把这段公路长看作什么?
(2)甲队每天修完这段公路的几分之几?
(3)乙队每天修完这段公路的几分之几?
(4)甲、乙两队合修每天可以修完这段公路的几分之几?
(5)甲、乙两队合修多少天可以修完?
师：谁愿意把过程写给大家看，并说说你是怎样想的?
生板书如下，说理略。
1÷(1／10 1／15)
＝1÷1／6
＝6(天)
师(根据学生的板书与说理进行小结)：这道题，具体的工作总量不知道，我们可以把工作总量看作单位“1”。根据“甲队单独修10天完成”可知甲队每天修全程的1／10(就是甲队的工作效率)，根据“乙队单独修15天完成”可知乙队每天修全程的1／15(就是乙队的工作效率)，所以(1／10 1／15)表示甲、乙两队的工作效率和，用工作总量“1”除以工作效率和求得的是两队合做的时间。
[评析：猜想与验证是学生自主探究的有效方法。本片断预设中的猜想与验证，先让学生发散思维，在猜测中预测结果，提高了学生参与验证的热情。在拓展训练中，学生解答后发现了一个奇怪的现象“总数量变了，工作时间还是不变”，这种预设的目的是让学生产生悬念，为进一步探究激发了心理需要。紧接着由学生自选数据计算，并悟出其中的道理，这种循循善诱之功，是教师对学生心理把握与教材理解的具体表现。当应用题拓展到不提供具体路长(其他条件不变)让学生解答时，本课由曲径通幽进入到“柳暗花明又一村”的境界。这种因材施教，面向全体学生的开放式预设，能让每一个学生自主、有效、富有个性地构建与生成，新课教学也由学生心理矛盾的不断推进逐步展开。]
三、归纳——对比——小结
1．归纳。
师：上面我们做的这道应用题，不给出具体工程数量，只知道不同单位完成的时间，要求他们合作时的完成时间，这就是我们今天要学习的“工程问题”(板书)。下面小组讨论，这种工程问题的解答方法有什么特点?
根据学生讨论归纳。
(1)把工作总量看作单位“1”。
(2)谁几天完成，谁的工作效率就是几分之一。
(3)用工作总量除以工作效率和就得到工作时间。
2．比较。
师：比较刚才出现的两类工程问题，一类是出现具体工程数量的，另一类是不出现具体工程数量的，说说它们解题方法的相同点和不同点。
生1：这两类应用题在解法思路上是一致的，数量关系基本相同。
生2：都是用工作总量除以工作效率的和。
生3：第二类应用题没有给出工作总量的具体数量，可以把工作总量看作单位“1”。
3．小结。
师(小结)：把工作总量看作单位“1”，谁几天完成，谁的工作效率就是几分之一，这是我们今天学习的工程问题数量关系分析的特点。
[评析：把新知识纳入学生原有的认知结构，以便生成新的认知体系，是数学教学的任务之一。本片断教师先让学生归纳“不给出具体数量的工程问题”的解题特点，这是本课的新知，再将新知与旧知“给出具体数量的工程问题”进行比较，引导学生区分新旧知识的异同点，最后小结强调新知在数量关系分析上的特点，使学生生成清晰的认知新体系。]
总评
预设与生成是教学中的一组矛盾。预设是为了更好地生成，但是课堂预设得越紧密，学生发展的空间就越小。所以教师注重预设的开放性与生成的多样性，同时通过适当调控，把有效的生成资源纳入教学过程，成为课中教学的新预设。本课各个环节的预设均具有一定的开放性，能充分发挥学生各自的特点，同时关注学生的学习状态，对学生的生成资源或截、或导、或控、或用，使新知探求始终建立在学生自主获取、主动构建和自然生成的状态之中。
教学过程：
一、设疑——控疑——存疑
师(电脑出示)：“龙长高速公路有限公司要修一段长30千米的公路路基，现在有甲、乙两个工程队参加修路招标，甲队单独修10天完成。”从以上条件，我们可以获得什么信息?
生1：甲队每天修3千米。
生2：甲队每天修这条公路的1／10。
师(电脑继续出示)：“乙队单独修15天完成。”从以上条件，我们又可以获得什么信息?
生3：乙队每天修2千米。
生4：乙队每天修这条公路的1／15。
生5：乙队比甲队多用5天。
师：假如你是龙长高速公路有限公司的总经理，你会承包给谁?为什么?
生6：甲队。因为甲队做得快!
生7：乙队。乙队虽然较慢，但可以便宜一点。
师：你们想得真有道理!如果要修得快，怎么办?
生8：让甲队修。
师：还有其他办法吗?
生9：可以让两个队一起修。
师：这个主意真不错!现在就让两个队一起修路，看一看几天能修完?(出示完整应用题如下：龙长高速公路有限公司要修一段长30千米的公路路基，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。两个队合修几天完成?)
[评析：龙长高速公路从龙岩市新罗区至长汀县，是正在修筑的现代化公路，正从该校附近经过。教者把教材中的例题融合在学生熟悉的“修路问题”中，使学生首先感受到在学习“有价值的数学”。本过程的教学艺术主要在于：一是设疑的开放性。如两次“获得什么信息”与“你会承包给谁”这些答案都不是唯一的，必须经过一定的数学思考，才能得出理想的答案。二是控疑的巧妙性。如让学生说出选哪个队修路的理由，学生说得都有道理，但不是本课设疑中要生成的问题，教师先给以肯定。然后通过“如果要修得快，怎么办”来控疑，又通过“还有其他办法吗”进一步控疑，引导预设中的生成。三是存疑的必然性。在控疑中生成有教学价值的问题．把它纳入教学过程，在此显得水到渠成，斧凿无痕。本片断融温故引新于一体，简洁明快，直奔新课教学。]
二、猜想——验证——拓展
1．猜想。
师：请同学们在计算之前先猜一猜两队合修需要的天数大概是多少?你是怎样想的?
(学生猜2天、3天、5天、12．5天、25天……由于答案较多，教师分别板书学生所说的天数，并点拨学生自悟得出“两队合修的天数比10天少”)
2．验证。
师：刚才大家得出最后结论是“比10天少”，现在我们来验证一下。请同学们思考后，列式解答。(师巡视并指名学生板书)
生1：30÷10 30÷15＝5(天)。
生2：30÷(30÷10 30÷15)=6(天)。
师：请你们分别说一说算式的每一步含义。(引导学生得出第一种方法求出的是两队合做1天修的路长，即工作效率和，而不是最后要求的天数；第二种方法是正确的，即工作总量÷工作效率和=合做时间。随后，教师进一步指出最后猜想的正确性。)
3．拓展。
师：如果把30千米改成60千米，其他条件不变，你能很快算出要修多少天吗?(学生计算，师指名学生板演)
生3：60÷(60÷10 60÷15)=6(天)。
师：仔细比较这两题，你发现了什么?
生4：合做时间都是6天。
师：这就怪了！如果公路总长再改成其他的数量，其余条件还是不变，结果还会是6天吗?
师：请同学们选择一个你喜欢的数字作为公路的长度试一试，数字比较大的可以用计算器计算。(指名学生板演，再分别请几个学生举例说明)
师：试验的结果还是这样吗?为什么会这样呢?
生5：还是6天。工作总量扩大了，工作效率也在扩大，扩大的倍数相同，所以时间不变。
生6：我发现无论公路多长，甲、乙两队每天修的各占总长的几分之几不变。
生7：无论公路多长，只要各自单独做的效率不变，合做的时间就不会变。
师：你们说得很有道理！那么，如果没有具体的公路长度，还能不能解答?
师：会做的同学可直接动笔列式解答，有困难的同学可以结合屏幕上的提示进行思考，也可以小组讨论，试着列式解答。
提示如下：
(1)把这段公路长看作什么?
(2)甲队每天修完这段公路的几分之几?
(3)乙队每天修完这段公路的几分之几?
(4)甲、乙两队合修每天可以修完这段公路的几分之几?
(5)甲、乙两队合修多少天可以修完?
师：谁愿意把过程写给大家看，并说说你是怎样想的?
生板书如下，说理略。
1÷(1／10 1／15)
＝1÷1／6
＝6(天)
师(根据学生的板书与说理进行小结)：这道题，具体的工作总量不知道，我们可以把工作总量看作单位“1”。根据“甲队单独修10天完成”可知甲队每天修全程的1／10(就是甲队的工作效率)，根据“乙队单独修15天完成”可知乙队每天修全程的1／15(就是乙队的工作效率)，所以(1／10 1／15)表示甲、乙两队的工作效率和，用工作总量“1”除以工作效率和求得的是两队合做的时间。
[评析：猜想与验证是学生自主探究的有效方法。本片断预设中的猜想与验证，先让学生发散思维，在猜测中预测结果，提高了学生参与验证的热情。在拓展训练中，学生解答后发现了一个奇怪的现象“总数量变了，工作时间还是不变”，这种预设的目的是让学生产生悬念，为进一步探究激发了心理需要。紧接着由学生自选数据计算，并悟出其中的道理，这种循循善诱之功，是教师对学生心理把握与教材理解的具体表现。当应用题拓展到不提供具体路长(其他条件不变)让学生解答时，本课由曲径通幽进入到“柳暗花明又一村”的境界。这种因材施教，面向全体学生的开放式预设，能让每一个学生自主、有效、富有个性地构建与生成，新课教学也由学生心理矛盾的不断推进逐步展开。]
三、归纳——对比——小结
1．归纳。
师：上面我们做的这道应用题，不给出具体工程数量，只知道不同单位完成的时间，要求他们合作时的完成时间，这就是我们今天要学习的“工程问题”(板书)。下面小组讨论，这种工程问题的解答方法有什么特点?
根据学生讨论归纳。
(1)把工作总量看作单位“1”。
(2)谁几天完成，谁的工作效率就是几分之一。
(3)用工作总量除以工作效率和就得到工作时间。
2．比较。
师：比较刚才出现的两类工程问题，一类是出现具体工程数量的，另一类是不出现具体工程数量的，说说它们解题方法的相同点和不同点。
生1：这两类应用题在解法思路上是一致的，数量关系基本相同。
生2：都是用工作总量除以工作效率的和。
生3：第二类应用题没有给出工作总量的具体数量，可以把工作总量看作单位“1”。
3．小结。
师(小结)：把工作总量看作单位“1”，谁几天完成，谁的工作效率就是几分之一，这是我们今天学习的工程问题数量关系分析的特点。
[评析：把新知识纳入学生原有的认知结构，以便生成新的认知体系，是数学教学的任务之一。本片断教师先让学生归纳“不给出具体数量的工程问题”的解题特点，这是本课的新知，再将新知与旧知“给出具体数量的工程问题”进行比较，引导学生区分新旧知识的异同点，最后小结强调新知在数量关系分析上的特点，使学生生成清晰的认知新体系。]
总评
预设与生成是教学中的一组矛盾。预设是为了更好地生成，但是课堂预设得越紧密，学生发展的空间就越小。所以教师注重预设的开放性与生成的多样性，同时通过适当调控，把有效的生成资源纳入教学过程，成为课中教学的新预设。本课各个环节的预设均具有一定的开放性，能充分发挥学生各自的特点，同时关注学生的学习状态，对学生的生成资源或截、或导、或控、或用，使新知探求始终建立在学生自主获取、主动构建和自然生成的状态之中。