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《证明》这章主要学习定义、命题、定理、推论以及原命题及其逆命题、互逆命题等概念，并且要求知道证明的意义和证明的必要性，能从基本事实出发，体会通过合情推理探索数学结论、运用演绎推理加以证明的过程，本章的学习对于学生学好几何内容，培养合情推理与演绎推理的能力有很大的帮助.为了帮助同学们学好这一章，本文对证明中的几个难点作以解读.
难点一：找出命题的题设与结论
首先要明白命题是由条件和结论组成，要熟悉命题的叙述方式，根据情况找出命题的条件和结论，要清楚命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，比如，“如果两直线平行，那么同位角相等”这个命题中，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论；当然，也有一些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，如“对顶角相等”这样的命题，它的条件和结论不明显，为了分清它的条件和结论，首先要明确它是由两个部分（条件和结论）组成的，其次要分析这个命题是由什么已知事项推出了什么结论，最后将其改写成“如果……，那么……”的形式. 因为“对顶角相等”是研究一对对顶角的关系，因此，将其改写为“如果……，那么……”的形式是：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 而对于“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”这个命题，“如果”前面这句话“两条直线被第三条直线所截”实际上是命题的前提条件，这个前提条件和“如果”后接的部分一并是条件，“这两条直线平行”是结论. 这类命题，只要画出图形，“条件”和“结论”就可以用符号语言简明地表示出来：
如图1，题设：∠1=∠2，结论：a∥b.
其次要多做练习，结合具体事例，区分命题的条件和结论，必要时要结合图形来区分.
例1 写出下列命题的条件和结论：
（1） 如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2） 如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
（3） 如果不等式两边都加同一个数，那么不等式的方向不改变；
（4） 互为倒数的两个数的积为1；
（5） 同位角相等.
【分析】确定命题的条件和结论的方法就是将命题改写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论.
【点评】本题考查命题的意义及结构. 第（1）、（2）、（3）三个命题的条件和结论比较明显，第（4）、（5）两个命题的条件和结论不明显，需要仔细分析，把命题写成“如果…，那么…”的形式，再找出题设和结论.
（1） 条件：两个角相等，结论：它们是对顶角；
（2） 条件：两条直线被第三条直线所截，结论：同旁内角互补；
（3） 条件：不等式两边都加同一个数，结论：不等号方向不改变；
（4） 先将命题写成“如果……，那么……”的形式，即“如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1”，则条件是：两个数互为倒数，结论是：这两个数的积为1；
（5） 先将命题写成“如果……，那么……”的形式，即“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，则条件是：两个角是同位角，结论是：这两个角相等.
例2 一位同学将“对顶角相等”用“如果…，那么…”的形式写成“如果对顶角，那么相等”，来找命题的题设和结论，这种改法正确吗？若不正确，请你写出正确的改法.
【点评】本题考查命题的结构与条件、结论的辨认. 需要注意的是，在用“如果…，那么…”的形式改写一个命题时，“如果”后面应是一个句子，而“对顶角”是一个词语，改写条件时有时需要补充一些词语，使之成为一个句子，如写成“如果两个角是对顶角”. 同样地，“那么”后面也不能只写一个词语“相等”，而应写成一个句子“这两个角相等”，所以“对顶角相等”应改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 这样改写后，很容易分清命题的条件和结论. 本题的答案是：这种改法不正确，正确的改法应写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
难点二：真假命题的判断
首先要理解真、假命题的意义，真命题是指条件成立，结论也成立的命题；而假命题是指条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立的命题.
其次通过对真假命题的判断，理解并体会：（1） 如果条件成立，真命题的判断总是正确的，而假命题的判断不能保证总是正确的；（2） 要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”即可，而要说明一个命题是真命题，无论验证多少个例子，都无法保证这个命题的正确性，因此就需要证明.
例3 判断下列命题是真命题还是假命题：
（1） 如果a>0，b>0，那么a b>0；
（2） 如果n<2，那么n2-4<0；
（3） 同角的余角相等；
（4） 同位角相等.
【分析】判断命题是真命题还是假命题时前提是条件成立，看结论是否成立，而说明命题是假命题时只要举一个反例即可.
【点评】本题考查的是真假命题的判断，需要从定义上判断，在命题的条件成立时判断命题的结论是否正确，如果要说明命题是假命题，只要举一个反例即可.因此本例中（1）、（3）是真命题；（2）、（4）是假命题，其中（2）中可以举n为-3等，（4）可以画图来举反例说明.
难点三：证明的关键步骤和理由的填写
可以分这样几个步骤来解决：（1） 首先要了解每一个基本事实和定理的符号推理形式；（2） 对于具体的证明过程，要弄清证明过程有几个因果关系，每个因果关系是由什么条件得到什么结论，然后对照所学的定义、定理或基本事实注明理由；（3） 会用“因为……，所以……”的形式进行说理，逐步养成说理有据，步步有理的习惯；（4） 加强练习，多做一些填写步骤和理由的训练，为以后书写规范、严谨的证明格式作准备.
例4 已知：如图2，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F.
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（ ），
∴∠1=∠_______（等量代换）.
∴______∥______（ ）.
∴∠C=∠4（ ）.
∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠4（ ）.
∴DF∥AC（ ）.
∴∠A=∠F（ ）.
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1=∠3 （等量代换）.
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）.
∴∠C=∠4（两直线平行，同位角相等）.
∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠4（等量代换）.
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）.
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）.
总之，证明的过程是一个在充分理解题意的基础上，综合应用各种方法进行推理、演绎的过程. 通过学习同学们能感受数学的严谨、结论的确定，初步树立言之有理、落笔有据的推理意识，发展初步的演绎推理能力.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）
难点一：找出命题的题设与结论
首先要明白命题是由条件和结论组成，要熟悉命题的叙述方式，根据情况找出命题的条件和结论，要清楚命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，比如，“如果两直线平行，那么同位角相等”这个命题中，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论；当然，也有一些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，如“对顶角相等”这样的命题，它的条件和结论不明显，为了分清它的条件和结论，首先要明确它是由两个部分（条件和结论）组成的，其次要分析这个命题是由什么已知事项推出了什么结论，最后将其改写成“如果……，那么……”的形式. 因为“对顶角相等”是研究一对对顶角的关系，因此，将其改写为“如果……，那么……”的形式是：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 而对于“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”这个命题，“如果”前面这句话“两条直线被第三条直线所截”实际上是命题的前提条件，这个前提条件和“如果”后接的部分一并是条件，“这两条直线平行”是结论. 这类命题，只要画出图形，“条件”和“结论”就可以用符号语言简明地表示出来：
如图1，题设：∠1=∠2，结论：a∥b.
其次要多做练习，结合具体事例，区分命题的条件和结论，必要时要结合图形来区分.
例1 写出下列命题的条件和结论：
（1） 如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2） 如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
（3） 如果不等式两边都加同一个数，那么不等式的方向不改变；
（4） 互为倒数的两个数的积为1；
（5） 同位角相等.
【分析】确定命题的条件和结论的方法就是将命题改写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论.
【点评】本题考查命题的意义及结构. 第（1）、（2）、（3）三个命题的条件和结论比较明显，第（4）、（5）两个命题的条件和结论不明显，需要仔细分析，把命题写成“如果…，那么…”的形式，再找出题设和结论.
（1） 条件：两个角相等，结论：它们是对顶角；
（2） 条件：两条直线被第三条直线所截，结论：同旁内角互补；
（3） 条件：不等式两边都加同一个数，结论：不等号方向不改变；
（4） 先将命题写成“如果……，那么……”的形式，即“如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1”，则条件是：两个数互为倒数，结论是：这两个数的积为1；
（5） 先将命题写成“如果……，那么……”的形式，即“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，则条件是：两个角是同位角，结论是：这两个角相等.
例2 一位同学将“对顶角相等”用“如果…，那么…”的形式写成“如果对顶角，那么相等”，来找命题的题设和结论，这种改法正确吗？若不正确，请你写出正确的改法.
【点评】本题考查命题的结构与条件、结论的辨认. 需要注意的是，在用“如果…，那么…”的形式改写一个命题时，“如果”后面应是一个句子，而“对顶角”是一个词语，改写条件时有时需要补充一些词语，使之成为一个句子，如写成“如果两个角是对顶角”. 同样地，“那么”后面也不能只写一个词语“相等”，而应写成一个句子“这两个角相等”，所以“对顶角相等”应改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 这样改写后，很容易分清命题的条件和结论. 本题的答案是：这种改法不正确，正确的改法应写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
难点二：真假命题的判断
首先要理解真、假命题的意义，真命题是指条件成立，结论也成立的命题；而假命题是指条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立的命题.
其次通过对真假命题的判断，理解并体会：（1） 如果条件成立，真命题的判断总是正确的，而假命题的判断不能保证总是正确的；（2） 要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”即可，而要说明一个命题是真命题，无论验证多少个例子，都无法保证这个命题的正确性，因此就需要证明.
例3 判断下列命题是真命题还是假命题：
（1） 如果a>0，b>0，那么a b>0；
（2） 如果n<2，那么n2-4<0；
（3） 同角的余角相等；
（4） 同位角相等.
【分析】判断命题是真命题还是假命题时前提是条件成立，看结论是否成立，而说明命题是假命题时只要举一个反例即可.
【点评】本题考查的是真假命题的判断，需要从定义上判断，在命题的条件成立时判断命题的结论是否正确，如果要说明命题是假命题，只要举一个反例即可.因此本例中（1）、（3）是真命题；（2）、（4）是假命题，其中（2）中可以举n为-3等，（4）可以画图来举反例说明.
难点三：证明的关键步骤和理由的填写
可以分这样几个步骤来解决：（1） 首先要了解每一个基本事实和定理的符号推理形式；（2） 对于具体的证明过程，要弄清证明过程有几个因果关系，每个因果关系是由什么条件得到什么结论，然后对照所学的定义、定理或基本事实注明理由；（3） 会用“因为……，所以……”的形式进行说理，逐步养成说理有据，步步有理的习惯；（4） 加强练习，多做一些填写步骤和理由的训练，为以后书写规范、严谨的证明格式作准备.
例4 已知：如图2，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F.
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（ ），
∴∠1=∠_______（等量代换）.
∴______∥______（ ）.
∴∠C=∠4（ ）.
∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠4（ ）.
∴DF∥AC（ ）.
∴∠A=∠F（ ）.
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1=∠3 （等量代换）.
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）.
∴∠C=∠4（两直线平行，同位角相等）.
∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠4（等量代换）.
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）.
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）.
总之，证明的过程是一个在充分理解题意的基础上，综合应用各种方法进行推理、演绎的过程. 通过学习同学们能感受数学的严谨、结论的确定，初步树立言之有理、落笔有据的推理意识，发展初步的演绎推理能力.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）