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函数是贯穿初中数学的一条主线,它具有承上启下的作用,是数形结合的重要体现.由数轴上的点与实数的一一对应关系到平面直角坐标系；由一次方程(组)、不等式(组)到一次函数；由特殊的分式方程到反比例函数；由一元二次方程到二次函数等等.函数知识是初中数学的重点和难点,更是每年中考的必考内容,一般约占试卷总分的16%左右.随着2012年中考的临近,如何考,考什么,哪些知识易出错？笔者通过“课程标准”的认真解读,现行各版本教材的认真研读,近几年中考试题的认真分析,对“函数”中必考的知识、思想和方法进行了系统的梳理,希望对初三教师指导考生考前复习有所帮助．
第一问：“在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.”你知道表示函数的方法一般有几种？你会求自变量的取值范围吗？
例1 (2011重庆)为了建设社会主义新农村,我市积极推进“行政村通畅工程”,张村和王村之间的道路需要进行改造,施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,不过施工队随后加快了施工进度,按时完成了两村之间道路的改造.下面能反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
解析 本题考查了函数图象的选择,即用图象来表示函数关系.如何选择本题中反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图象,可以从该工程已改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系来考虑,因为开始施工速度比停工后施工进度慢,所以图象反映出来开始的线段与x轴的夹角比停工后的线段与x轴的夹角大,中间是水平线段,因此已改造的道路里程y与时间x的函数关系的大致图象是A,则能反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图象是D．
说明 表示函数的方法有三种,即列表法、解析式法和图象法.对于函数图象的选择,命题者关注的重点并非放在精确绘制函数图象上,而是提供一个与现实生活密切联系的问题情境,关注对图象的理解和灵活运用函数知识解决实际问题的能力.从命题者关注的侧重点出发分析问题,往往能收到事半功倍的效果．
例2 (2011湖南衡阳)函数y=x+3[]x-1中,自变量x的取值范围是( )
A.x≥-3 B.x≥-3且x≠1 C.x≠1D.x≠-3且x≠1
解析 本题考查了函数自变量取值范围的确定.它属于复合型试题,要同时满足两个条件：①式子x+3有意义,②分式1[]x-1有意义.即要使函数y=x+3[]x-1有意义,必须满足[JB(｛]x+3≥0
x-1≠0,[JB)]解得x≥-3且x≠1,故选择B．
说明 用数学式子表示函数的方法叫做解析式法.在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值范围必须使解析式有意义(遇到实际问题,还必须使实际问题有意义).初中阶段求自变量取值范围的函数解析式,一般是三种形式,即整式、分式、形如a的式子或几个式子的复合.在复合型的解析式中,注意不要漏条件．
第二问：函数的图象以几何形式直观地表示变量间的单值对应关系,是研究函数的重要工具.你知道函数的图象一般意义和作法吗？
例3 某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时,实验记录得到的相应数据如下表：
则y关于x的函数图象是( )
A. B. C. D.
解析 由于弹簧的长度是有限的,观察表格,可以知道当砝码的质量大于或等于275g时,指针位置7.5(cm)不变,即弹簧的长度不超过7.5 cm.故选择C．
说明 关于函数图象的意义,要注意“把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标”,即完整的函数图象对应自变量的全部取值范围.本题中的选项A和B,只画出了自变量的部分取值；选项D,没有能从表格中推算出当砝码的质量大于或等于275g时,指针位置7.5(cm)不变.另外,有时由于条件所限,也只能画出图象中的一部分．
有些函数的图象(例如用仪器自动纪录温度变化的曲线、某人体检时的心电图等等)却不能这样画．
第三问：先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.你会用待定系数法求函数的解析式吗？
例4 (2011广东佛山)如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1)、B(0,2)、C(1,3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)画出二次函数的图象．
解析 (1)本小题考查了用待定系数法求函数解析式.将已知三个点的横、纵坐标分别代入二次函数y=ax2+bx+c中,得到关于a,b,c的三元一次方程组,解得[JB(｛]a=-1,
b=2,
c=2.[JB)](2)二次函数y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,则抛物线的顶点坐标是(1,3),对称轴是直线x=1.画图略．
说明 (1)求函数的解析式,关键是求出解析式中的待定系数.由已知条件列出关于待定系数的方程组,并求出待定系数的值,就可以写出函数的解析式(若有2个待定系数,就要找出2个已知条件；若有3个待定系数,就要找出3个已知条件).(2)画函数图象可以根据函数解析式,先列表,再描点,最后连线的步骤进行.也可以这样去画,若是一次函数,只要描出2个点,然后经过这2个点,画一条直线即可；若是二次函数,我们可以先画出对称轴,再描出顶点,然后描出抛物线与坐标轴的交点,接着根据抛物线的对称性描出图形,最后检查一下画出的图象是否经过已知点.本题给出了函数解析式与函数图象之间的互相转化过程.即
第四问：你掌握了函数的性质吗？会用函数的性质解决问题吗？
例5 (2011广东广州)下列函数中,当x>0时,y值随x值增大而减小的是( )A.y=x2 B.y=x-1 C.y=3[]4x D.y=1[]x
解析 本题考查了函数的增减性.二次函数y=x2的图象开口向上,关于y轴对称,当x>0时,y值随x值增大而增大；一次函数y=x-1和y=3[]4x中的k均大于0,当x>0时,y值随x值增大而增大；而反比例函数y=1[]x的图象的两个分支位于第一、三象限,当x>0时,y值随x值增大而减小.故选项为D．
说明 对于函数增减性的判断,通常有两种办法,即画出函数图象进行判断或根据函数的性质直接判断．
例6 (2011浙江杭州)如图2,函数y1=x-1和函数y2=2[]x的图象相交于点M(2,m),N(-1,n),若y1＞y2,则x的取值范围是( )
A.x＜-1或0＜x＜2
B.x＜-1或x＞2
C.-1＜x＜0或0＜x＜2
D.-1＜x＜0或x＞2
解析 本题是直线与双曲线的结合,通过对函数值的大小
比较,求出自变量x的取值范围.由图象可知直线与双曲线的两个交点分别为N(-1,n)、M(2,m),在y轴的左侧,当x＜-1时,y1＜y2；当x=-1时,y1=y2；当-1＜x＜0时,y1＞y2.在y轴的右侧,当0＜x＜2时,y1＜y2；当x=2时,y1=y2；当x＞2时,y1＞y2.若y1＞y2,则x的取值范围是-1＜x＜0或x＞2.故选项为D．
说明 (1)由于反比例函数的图象是双曲线,它的两个分支分别分布在两个象限中,即它的图象是不连续的,必须要进行分类讨论；(2)根据函数图象的性质可知,交点处的横坐标就是两个函数的函数值相等时,x的取值；(3)y1＞y2,在图象上表现为直线在双曲线上面.求x的取值范围就是看直线在双曲线上面时,x的取值范围；(4)写取值范围时,不能漏解．
例7 (2011内蒙古呼和浩特)已知抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位(m＞0)得到的新抛物线过点(1,8)．
(1)求m的值,并将平移后的抛物线解析式写成y2=a(x-h)2+k的形式；
(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式,并在所给的平面直角坐标系中（图3）直接画出简图,同时写出该函数在-3＜x≤-3[]2时,对应的函数值y的取值范围；
(3)设一次函数y3=nx+3(n≠0),问是否存在正整数n使得(2)中函数的函数值y=y3时,对应的x的值为-1＜x＜0,若存在,求出n的值；若不存在,说明理由．
解析 本题考查了利用二次函数的性质解题.(1)平移后的抛物线的解析式可设为y2=x2+4x+1+m,由于它过点(1,8),所以求得m=2.从而y2=x2+4x+3=(x+2)2-1.(2)翻折后的抛物线的顶点为(-2,1),且开口向下,故翻折后的抛物线的解析式为y=-(x+2)2+1(-3＜x＜-1).故新的图象对应的函数解析式是一个分段函数,
即y=[JB(｛][HL(1](x+2)2-1,(x≤-3或x≥-1)
-(x+2)2+1.(-3 在-3＜x≤-3[]2时,对应的函数值y的取值范围是0＜y≤1．
(3)若存在,则有x2+4x+3=nx+3,x2+4x=nx,
解得x1=0,x2=n-4.因为-1＜x＜0,所以-1＜n-4＜0．
所以3＜n＜4.因为n是整数,所以不存在正整数n满足条件．
说明 (1)关于函数图象的平移,也可以从点的角度去考虑.在平面直角坐标系中,图象的平移实际上就是点的平移,当点的上下平移时,点的横坐标不变,纵坐标发生变化；当点的左右平移时,点的纵坐标不变,横坐标发生变化.把x=1代入y1=x2+4x+1=6,即抛物线y1过点(1,6).因为平移后的抛物线过点(1,8),所以抛物线向上平移了2个单位长度；(2)对于(3)的解决,实际上就是一、二次函数值相等时,建立相应的一元二次方程,但要注意分段函数中取哪一段的函数关系式.在求得一元二次方程的两根后,其中一根为0,另一根为n-4,显然,0不在-1＜x＜0范围内,从而得到-1＜n-4＜0,解得3＜n＜4,显然这样的整数n也是不存在的,从而探索问题得到解决.像这类问题,往往都是假设存在,再进一步推导,若求得符合条件的整数n的值,就存在；否则就不存在．
第五问：函数是从实际问题中抽象出来的概念,函数的应用在实际生活中处处都存在.你会用函数的性质,解决实际生产、现实生活中的问题吗？
例8 (2011福建龙岩)周六上午8：00小明从家出发,乘车1 h到郊外某基地参加社会实践活动,在基地活动2.2 h后,因家里有急事,他立即按原路以4 km/h的平均速度步行返回.同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他,在离家28 km处与小明相遇.接到小明后保持车速不变,立即按原路返回.设小明离开家的时间为x h,小明离家的路程y (km)与x (h)之间的函致图象如图5所示．
(1)小明去基地乘车的平均速度是_________km/h,爸爸开车的平均速度应是________km/h；
(2)求线段CD所表示的函数关系式；
(3)问小明能否在12：00前回到家？若能,请说明理由：若不能,请算出12：00时他离家的路程．
解析 本题是一道函数应用题,考查了对一次函数图象的理解.(1)当x=1时,y=30.所以小明去某基地乘车的平均速度是30 km/h.小明以4 km/h的平均速度步行2 km(30-28=2),所以小明步行的时间为2÷4=0.5(h),故爸爸开车的平均速度是28÷0.5=56(km/h).(2)设线段CD所表示的函数关系式为y=kx+b, 根据题意,可知C(3.7,28),D(4.2,0),这样可以列出方程组,求得函数关系式为y=-56x+235.2.(3)小明不能在12：00前回到家．
令y=0得x=4.2,此时已超过12：00,当x=4时,y=11.2．
说明 (1)本题要会观察图象,知道在平面直角坐标系中,图象上的每一个点的坐标意义,然后利用方程思想进行求解.关于C,D两点坐标的问题,点C的坐标可以结合图象及小明步行了0.5 h得到.因为小明的爸爸接到小明时用去了0.5 h,立即按原路返回,返回到家用时也应该是0.5 h,故点D横坐标是4.2,纵坐标是0,即D(4.2,0).(2)本题有4段函数中的自变量x取值范围应该是：线段OA：0＜x＜1,线段AB：1＜x＜3.2,线段BC：3.2＜x＜3.7,线段CD：3.7＜x＜4.2．
作者简介：
王兴富,江苏如皋人,1960年1月生,中学数学教研员,中学高级教师,南通市学科带头人.主要从事课堂教学研究和试题研究.有数10篇数学教学论文在省级以上刊物发表,参编或主编著教辅用书20余部．
第一问：“在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.”你知道表示函数的方法一般有几种？你会求自变量的取值范围吗？
例1 (2011重庆)为了建设社会主义新农村,我市积极推进“行政村通畅工程”,张村和王村之间的道路需要进行改造,施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,不过施工队随后加快了施工进度,按时完成了两村之间道路的改造.下面能反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
解析 本题考查了函数图象的选择,即用图象来表示函数关系.如何选择本题中反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图象,可以从该工程已改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系来考虑,因为开始施工速度比停工后施工进度慢,所以图象反映出来开始的线段与x轴的夹角比停工后的线段与x轴的夹角大,中间是水平线段,因此已改造的道路里程y与时间x的函数关系的大致图象是A,则能反映该工程尚未改造道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图象是D．
说明 表示函数的方法有三种,即列表法、解析式法和图象法.对于函数图象的选择,命题者关注的重点并非放在精确绘制函数图象上,而是提供一个与现实生活密切联系的问题情境,关注对图象的理解和灵活运用函数知识解决实际问题的能力.从命题者关注的侧重点出发分析问题,往往能收到事半功倍的效果．
例2 (2011湖南衡阳)函数y=x+3[]x-1中,自变量x的取值范围是( )
A.x≥-3 B.x≥-3且x≠1 C.x≠1D.x≠-3且x≠1
解析 本题考查了函数自变量取值范围的确定.它属于复合型试题,要同时满足两个条件：①式子x+3有意义,②分式1[]x-1有意义.即要使函数y=x+3[]x-1有意义,必须满足[JB(｛]x+3≥0
x-1≠0,[JB)]解得x≥-3且x≠1,故选择B．
说明 用数学式子表示函数的方法叫做解析式法.在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值范围必须使解析式有意义(遇到实际问题,还必须使实际问题有意义).初中阶段求自变量取值范围的函数解析式,一般是三种形式,即整式、分式、形如a的式子或几个式子的复合.在复合型的解析式中,注意不要漏条件．
第二问：函数的图象以几何形式直观地表示变量间的单值对应关系,是研究函数的重要工具.你知道函数的图象一般意义和作法吗？
例3 某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时,实验记录得到的相应数据如下表：
则y关于x的函数图象是( )
A. B. C. D.
解析 由于弹簧的长度是有限的,观察表格,可以知道当砝码的质量大于或等于275g时,指针位置7.5(cm)不变,即弹簧的长度不超过7.5 cm.故选择C．
说明 关于函数图象的意义,要注意“把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标”,即完整的函数图象对应自变量的全部取值范围.本题中的选项A和B,只画出了自变量的部分取值；选项D,没有能从表格中推算出当砝码的质量大于或等于275g时,指针位置7.5(cm)不变.另外,有时由于条件所限,也只能画出图象中的一部分．
有些函数的图象(例如用仪器自动纪录温度变化的曲线、某人体检时的心电图等等)却不能这样画．
第三问：先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.你会用待定系数法求函数的解析式吗？
例4 (2011广东佛山)如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1)、B(0,2)、C(1,3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)画出二次函数的图象．
解析 (1)本小题考查了用待定系数法求函数解析式.将已知三个点的横、纵坐标分别代入二次函数y=ax2+bx+c中,得到关于a,b,c的三元一次方程组,解得[JB(｛]a=-1,
b=2,
c=2.[JB)](2)二次函数y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,则抛物线的顶点坐标是(1,3),对称轴是直线x=1.画图略．
说明 (1)求函数的解析式,关键是求出解析式中的待定系数.由已知条件列出关于待定系数的方程组,并求出待定系数的值,就可以写出函数的解析式(若有2个待定系数,就要找出2个已知条件；若有3个待定系数,就要找出3个已知条件).(2)画函数图象可以根据函数解析式,先列表,再描点,最后连线的步骤进行.也可以这样去画,若是一次函数,只要描出2个点,然后经过这2个点,画一条直线即可；若是二次函数,我们可以先画出对称轴,再描出顶点,然后描出抛物线与坐标轴的交点,接着根据抛物线的对称性描出图形,最后检查一下画出的图象是否经过已知点.本题给出了函数解析式与函数图象之间的互相转化过程.即
第四问：你掌握了函数的性质吗？会用函数的性质解决问题吗？
例5 (2011广东广州)下列函数中,当x>0时,y值随x值增大而减小的是( )A.y=x2 B.y=x-1 C.y=3[]4x D.y=1[]x
解析 本题考查了函数的增减性.二次函数y=x2的图象开口向上,关于y轴对称,当x>0时,y值随x值增大而增大；一次函数y=x-1和y=3[]4x中的k均大于0,当x>0时,y值随x值增大而增大；而反比例函数y=1[]x的图象的两个分支位于第一、三象限,当x>0时,y值随x值增大而减小.故选项为D．
说明 对于函数增减性的判断,通常有两种办法,即画出函数图象进行判断或根据函数的性质直接判断．
例6 (2011浙江杭州)如图2,函数y1=x-1和函数y2=2[]x的图象相交于点M(2,m),N(-1,n),若y1＞y2,则x的取值范围是( )
A.x＜-1或0＜x＜2
B.x＜-1或x＞2
C.-1＜x＜0或0＜x＜2
D.-1＜x＜0或x＞2
解析 本题是直线与双曲线的结合,通过对函数值的大小
比较,求出自变量x的取值范围.由图象可知直线与双曲线的两个交点分别为N(-1,n)、M(2,m),在y轴的左侧,当x＜-1时,y1＜y2；当x=-1时,y1=y2；当-1＜x＜0时,y1＞y2.在y轴的右侧,当0＜x＜2时,y1＜y2；当x=2时,y1=y2；当x＞2时,y1＞y2.若y1＞y2,则x的取值范围是-1＜x＜0或x＞2.故选项为D．
说明 (1)由于反比例函数的图象是双曲线,它的两个分支分别分布在两个象限中,即它的图象是不连续的,必须要进行分类讨论；(2)根据函数图象的性质可知,交点处的横坐标就是两个函数的函数值相等时,x的取值；(3)y1＞y2,在图象上表现为直线在双曲线上面.求x的取值范围就是看直线在双曲线上面时,x的取值范围；(4)写取值范围时,不能漏解．
例7 (2011内蒙古呼和浩特)已知抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位(m＞0)得到的新抛物线过点(1,8)．
(1)求m的值,并将平移后的抛物线解析式写成y2=a(x-h)2+k的形式；
(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式,并在所给的平面直角坐标系中（图3）直接画出简图,同时写出该函数在-3＜x≤-3[]2时,对应的函数值y的取值范围；
(3)设一次函数y3=nx+3(n≠0),问是否存在正整数n使得(2)中函数的函数值y=y3时,对应的x的值为-1＜x＜0,若存在,求出n的值；若不存在,说明理由．
解析 本题考查了利用二次函数的性质解题.(1)平移后的抛物线的解析式可设为y2=x2+4x+1+m,由于它过点(1,8),所以求得m=2.从而y2=x2+4x+3=(x+2)2-1.(2)翻折后的抛物线的顶点为(-2,1),且开口向下,故翻折后的抛物线的解析式为y=-(x+2)2+1(-3＜x＜-1).故新的图象对应的函数解析式是一个分段函数,
即y=[JB(｛][HL(1](x+2)2-1,(x≤-3或x≥-1)
-(x+2)2+1.(-3
(3)若存在,则有x2+4x+3=nx+3,x2+4x=nx,
解得x1=0,x2=n-4.因为-1＜x＜0,所以-1＜n-4＜0．
所以3＜n＜4.因为n是整数,所以不存在正整数n满足条件．
说明 (1)关于函数图象的平移,也可以从点的角度去考虑.在平面直角坐标系中,图象的平移实际上就是点的平移,当点的上下平移时,点的横坐标不变,纵坐标发生变化；当点的左右平移时,点的纵坐标不变,横坐标发生变化.把x=1代入y1=x2+4x+1=6,即抛物线y1过点(1,6).因为平移后的抛物线过点(1,8),所以抛物线向上平移了2个单位长度；(2)对于(3)的解决,实际上就是一、二次函数值相等时,建立相应的一元二次方程,但要注意分段函数中取哪一段的函数关系式.在求得一元二次方程的两根后,其中一根为0,另一根为n-4,显然,0不在-1＜x＜0范围内,从而得到-1＜n-4＜0,解得3＜n＜4,显然这样的整数n也是不存在的,从而探索问题得到解决.像这类问题,往往都是假设存在,再进一步推导,若求得符合条件的整数n的值,就存在；否则就不存在．
第五问：函数是从实际问题中抽象出来的概念,函数的应用在实际生活中处处都存在.你会用函数的性质,解决实际生产、现实生活中的问题吗？
例8 (2011福建龙岩)周六上午8：00小明从家出发,乘车1 h到郊外某基地参加社会实践活动,在基地活动2.2 h后,因家里有急事,他立即按原路以4 km/h的平均速度步行返回.同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他,在离家28 km处与小明相遇.接到小明后保持车速不变,立即按原路返回.设小明离开家的时间为x h,小明离家的路程y (km)与x (h)之间的函致图象如图5所示．
(1)小明去基地乘车的平均速度是_________km/h,爸爸开车的平均速度应是________km/h；
(2)求线段CD所表示的函数关系式；
(3)问小明能否在12：00前回到家？若能,请说明理由：若不能,请算出12：00时他离家的路程．
解析 本题是一道函数应用题,考查了对一次函数图象的理解.(1)当x=1时,y=30.所以小明去某基地乘车的平均速度是30 km/h.小明以4 km/h的平均速度步行2 km(30-28=2),所以小明步行的时间为2÷4=0.5(h),故爸爸开车的平均速度是28÷0.5=56(km/h).(2)设线段CD所表示的函数关系式为y=kx+b, 根据题意,可知C(3.7,28),D(4.2,0),这样可以列出方程组,求得函数关系式为y=-56x+235.2.(3)小明不能在12：00前回到家．
令y=0得x=4.2,此时已超过12：00,当x=4时,y=11.2．
说明 (1)本题要会观察图象,知道在平面直角坐标系中,图象上的每一个点的坐标意义,然后利用方程思想进行求解.关于C,D两点坐标的问题,点C的坐标可以结合图象及小明步行了0.5 h得到.因为小明的爸爸接到小明时用去了0.5 h,立即按原路返回,返回到家用时也应该是0.5 h,故点D横坐标是4.2,纵坐标是0,即D(4.2,0).(2)本题有4段函数中的自变量x取值范围应该是：线段OA：0＜x＜1,线段AB：1＜x＜3.2,线段BC：3.2＜x＜3.7,线段CD：3.7＜x＜4.2．
作者简介：
王兴富,江苏如皋人,1960年1月生,中学数学教研员,中学高级教师,南通市学科带头人.主要从事课堂教学研究和试题研究.有数10篇数学教学论文在省级以上刊物发表,参编或主编著教辅用书20余部．