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摘要：教师在组织解题教学时，通常会出现“教学脱节”情形，对此何小亚教授在指导学生时提出“初等化”方法，核心是“为学生准备合适的数学，以符合学生认知基础的形式讲授数学”.由于教师和学生认知基础的差异性，“初等化”方法应用有其内在规律，使用时应注意“构建认知平台，关注数学化，为学生思维留白”.
关键词：教学脱节；解题教学；初等化：数学化
我们在组织解题教学时通常会有这样的经历：一道试题，教师从不同的角度反复给学生讲解，教师十分辛苦，学生却不甚明了，教师急，学生迷茫.这种情形我们称之为“教学脱节”.其根源是教师的认知基础与学生的认知基础存在落差，表现出学生跟不上教师的思维节奏，对此华南师范大学何小亚教授在指导学生时提出“初等化”的方法.其要义是“为学生准备合适的数学.以符合学生认知基础的形式讲授数学”.
美国学者吉姆·费（JimFey）认为“把数学的概念、原理、技能和说理方法翻译成可以为大多数学生所掌握的样子”，其中蕴涵的思维方式也是“初等化”，即川浅显易懂的原理，将一些复杂的问题解释清楚，让学生易于理解，在进行数学解题教学时，我们不妨借助“初等化”的方法，对试题解决的思维方式进行转化，降低学生认知门槛，让学生易于接受.下面以课堂教学的一个片断为例.谈淡个人的看法.
教学片断
一位数学教师课堂解题教学片断.试题：下列四个命题中：①a b≥
分析：本题答案是②和④，但是学生对于答案②却难以接受，原因是取不到“=”，对学生的困惑，教师给予了解释，教学过程整理如下：
（教师对该问题认识不足，认为提一下学生就懂，结果学生没反应.）
教师：特殊化处理2>1，所以2≥l成立.
（学生还不明白，因为在学生意识中2≠l，教师有点急.）
教师：问题的症结是“只要解释清2≥1”即可，我们先来看：若a≥b>c成立，则a≥c成立.
（学生茫然，因为a>c，a≠c，解释陷入前面两个解释中，教师真急了.）
教师：我们换个角度看，不妨从命题角度，命题“2≥l”，其实质是“2=1或2>1”，即这是一个复合命题，p和q中有一个命题为真时，“p或q”即真，命题“2=1或2>1”中，命题“2>1”为真，所以命题“2≥l”
（学生稍微明白，部分学生面露喜色，教师到此心里释然，思维也开阔起来，又继续从命题角度研究.）
教师：我们再从命题角度看，若“p真，则非p假”，若“p假，则非p真”.因为命题“2 （到此学生明白，教师也轻松起来，思维随之打开.）
教师：下面我们从问题的反面出发来看.假设“2≥1”不对.则“2<1”必对.
（学生会心一笑，恍然大悟，正符合“正难则反”的解题策略.）
点评：我们姑且不论教学效果如何，显然课前教师准备不足，没有意识到在该问题上.教师的认知基础远高于学生的认知基础.在这一过程中教师沿着惯性思维从逻辑的角度去解释，而这一点恰是学生所缺失的.学生更习惯于从认知的角度来思考.由于二者的差异导致教学脱节.
教师前三次的解释均陷入相同的困境，即给学生构建抽象的数学理解，导致学生接受缺失认知平台.而从“真值表”的角度来解释，对学生而言是苍白的.事实上学生怀疑的就是“真值表”.后来教师的解释演变为模式识别，是基于熟练掌握模式基础上的应用，它应是学生训练成果的呈现，这需要一个过程，在模式识别的基础上，教师从学生心理认知角度出发，尝试从命题的反面人手.对问题思维层次进行简化.提出“正难则反”的解题策略，效果比较好.
我们能否尝试借助“初等化”的方法.从学生心理认知的角度对上述教学过程进行优化重组呢？不妨一试.
教学视角调整
以学生心理认知为基础，采用“初等化”的方法进行研究，
尝试1：我们从生活实例角度看，班级举行数学竞赛，规定：得分不少于120分的同学获一等奖，小明得分为130分，问小明得几等奖？请用数学的语言描述出来.
分析：记学生得分为x，当x≥120时获一等奖，小明得130分，为130≥120，所以小明获一等奖，在这一过程中.从生活实例入手，引入数学符号，进而构造不等关系，学生不自觉接受了130≥120这一结果，
尝试2：我们从算法角度看，苏教版《必修3》教材P14练习2：用Ni表示第i个学生的学号，Gi表示第i个学生的成绩（i=1，2，…，50），图1的流程图表示了一个什么样算法？
分析：这是教材一道练习题，借助教材中的实例，学生直观感知，在这一过程中.不自觉地就可以接受90≥80的事实，进而就解决掉了2≥l问题.
点评：上面两个尝试，我们借助学生已有的生活体验，将一个抽象的数学问题，演变为学生的生活感悟，其间不自觉地运用了“初等化”的方法，学生在不经意间接受了“2≥1”这一事实.自然而然地解决了问题.
下面我们再尝试从逻辑角度，对学生数学思维进行提升和发展.
尝试3：从复合命题角度看，命题“2≥1”，其实质是“2=1或2>1”，即为这是一个复合命题，“p和q”中有一个命题为真时，“p或q”即真.
尝试4：从逆否命题角度看，若“p真，则非p假”，若“p假，则非p真”，
尝试5：从命题否定角度看，看问题的反面，假设“2≥1”不对，则“2<1”必对，显然这是错的，所以2≥1正确，
尝试6：从不等式角度看，若a≥b>c成立.则a≥c成立.
点评：经过上述几个视角的变换，学生从生活经验到感性体验，从感性体验到理性认知.从理性认知到符号抽象，从符号抽象到逻辑演绎，经历了一个螺旋上升的过程，其间从学生经验基础做起.逐渐向数学化过渡，数学思维逐层递进，这一过程可以说是数学抽象问题“初等化”的逆过程，符合学生的心理认知，便于问题解决，又使学生数学思维得到发展. 教学反思
在数学解题教学过程中，由于教师与学生的认知基础存在着落差，一般来说教师的起点高一些，学生的起点低一些.借助“初等化”的方法，从学生原有认知基础组织教学，有助于学生认知结构的重建，达到固本培元的效果，但“初等化”方法的使用也有要求，在运用时要遵循其内在规律.才能达到最佳效果，
首先，“初等化”方法应用需要构建认知平台.学生的认知水平与其获得的学习经验是密不可分的.应用“初等化”方法进行解题教学时，需要教师找出学生认知起点，即从学生思维最近发展区搭建认知平台，这种认知平台有时是基于学生生活经验积累和生活实际需求而产生的.在进行解题教学时要善于把学生在生活中获得的经验、能力引入解题教学中，把课堂中的数学问题以生活化的形态呈现.化抽象的数学问题为易于学生理解的事例，学生的学习经验也是建构认知平台的基础.解题教学中我们可以利用符号运算、构建图形、画流程图、动态模拟演示等辅助手段，建立与学生原有知识的联系，搭建新的认知结构与旧的认知结构之间的连线，实现解题的“初等化”处理.
其次，‘初等化”方法应用还需要关注数学化，“初等化”方法尽管可以通过生活经验和生活实例来实现，但数学解题中的“初等化”最终目的在于“落实数学化，即对数学本身的数学化”.我们通过数学符号语言表述和逻辑演绎来呈现数学化，体现数学思维的严谨性，符号语言作为数学中通用的特有语言.是数学抽象性的一种表现，是数学化的一种呈现，由于数学中的每一道试题都有严格的推理，逻辑演绎呈现了这种推理的过程，体现出对数学对象、数学运算、数学关系的整合，是数学化的高端呈现.这种数学化的过程利于学生数学思维的养成.因此我们在进行“初等化”处理的同时更应关注数学化，回归数学的本质去.
再者.“初等化”方法应用需要为学生思维留白.在解题教学中“初等化”方法是从学生的认知基础人手，有效降低了教师与学生在认知基础上的差异，使学生解题产生顿悟，获得学习的喜悦.但这一过程由于教师的干预，学生学习相对被动，数学思维发展被“掐尖”，不利于学生数学能力的提升，因此教师在进行解题教学时，“初等化”的过程推出要慢一些.给学生留下思考的空间.甚至这种过程放手给学生来完成.教师要学会做一个指导者，借助自己较高的认知基础，帮助学生建构认知平台，形成科学的思维体系.有时教师可以留出大块的时间给学生静思，学生通过对学习内容进行更高层次的深度思维，利于理解、感悟，有利于对文本的多元化、个性化的解读.
关键词：教学脱节；解题教学；初等化：数学化
我们在组织解题教学时通常会有这样的经历：一道试题，教师从不同的角度反复给学生讲解，教师十分辛苦，学生却不甚明了，教师急，学生迷茫.这种情形我们称之为“教学脱节”.其根源是教师的认知基础与学生的认知基础存在落差，表现出学生跟不上教师的思维节奏，对此华南师范大学何小亚教授在指导学生时提出“初等化”的方法.其要义是“为学生准备合适的数学.以符合学生认知基础的形式讲授数学”.
美国学者吉姆·费（JimFey）认为“把数学的概念、原理、技能和说理方法翻译成可以为大多数学生所掌握的样子”，其中蕴涵的思维方式也是“初等化”，即川浅显易懂的原理，将一些复杂的问题解释清楚，让学生易于理解，在进行数学解题教学时，我们不妨借助“初等化”的方法，对试题解决的思维方式进行转化，降低学生认知门槛，让学生易于接受.下面以课堂教学的一个片断为例.谈淡个人的看法.
教学片断
一位数学教师课堂解题教学片断.试题：下列四个命题中：①a b≥
分析：本题答案是②和④，但是学生对于答案②却难以接受，原因是取不到“=”，对学生的困惑，教师给予了解释，教学过程整理如下：
（教师对该问题认识不足，认为提一下学生就懂，结果学生没反应.）
教师：特殊化处理2>1，所以2≥l成立.
（学生还不明白，因为在学生意识中2≠l，教师有点急.）
教师：问题的症结是“只要解释清2≥1”即可，我们先来看：若a≥b>c成立，则a≥c成立.
（学生茫然，因为a>c，a≠c，解释陷入前面两个解释中，教师真急了.）
教师：我们换个角度看，不妨从命题角度，命题“2≥l”，其实质是“2=1或2>1”，即这是一个复合命题，p和q中有一个命题为真时，“p或q”即真，命题“2=1或2>1”中，命题“2>1”为真，所以命题“2≥l”
（学生稍微明白，部分学生面露喜色，教师到此心里释然，思维也开阔起来，又继续从命题角度研究.）
教师：我们再从命题角度看，若“p真，则非p假”，若“p假，则非p真”.因为命题“2
教师：下面我们从问题的反面出发来看.假设“2≥1”不对.则“2<1”必对.
（学生会心一笑，恍然大悟，正符合“正难则反”的解题策略.）
点评：我们姑且不论教学效果如何，显然课前教师准备不足，没有意识到在该问题上.教师的认知基础远高于学生的认知基础.在这一过程中教师沿着惯性思维从逻辑的角度去解释，而这一点恰是学生所缺失的.学生更习惯于从认知的角度来思考.由于二者的差异导致教学脱节.
教师前三次的解释均陷入相同的困境，即给学生构建抽象的数学理解，导致学生接受缺失认知平台.而从“真值表”的角度来解释，对学生而言是苍白的.事实上学生怀疑的就是“真值表”.后来教师的解释演变为模式识别，是基于熟练掌握模式基础上的应用，它应是学生训练成果的呈现，这需要一个过程，在模式识别的基础上，教师从学生心理认知角度出发，尝试从命题的反面人手.对问题思维层次进行简化.提出“正难则反”的解题策略，效果比较好.
我们能否尝试借助“初等化”的方法.从学生心理认知的角度对上述教学过程进行优化重组呢？不妨一试.
教学视角调整
以学生心理认知为基础，采用“初等化”的方法进行研究，
尝试1：我们从生活实例角度看，班级举行数学竞赛，规定：得分不少于120分的同学获一等奖，小明得分为130分，问小明得几等奖？请用数学的语言描述出来.
分析：记学生得分为x，当x≥120时获一等奖，小明得130分，为130≥120，所以小明获一等奖，在这一过程中.从生活实例入手，引入数学符号，进而构造不等关系，学生不自觉接受了130≥120这一结果，
尝试2：我们从算法角度看，苏教版《必修3》教材P14练习2：用Ni表示第i个学生的学号，Gi表示第i个学生的成绩（i=1，2，…，50），图1的流程图表示了一个什么样算法？
分析：这是教材一道练习题，借助教材中的实例，学生直观感知，在这一过程中.不自觉地就可以接受90≥80的事实，进而就解决掉了2≥l问题.
点评：上面两个尝试，我们借助学生已有的生活体验，将一个抽象的数学问题，演变为学生的生活感悟，其间不自觉地运用了“初等化”的方法，学生在不经意间接受了“2≥1”这一事实.自然而然地解决了问题.
下面我们再尝试从逻辑角度，对学生数学思维进行提升和发展.
尝试3：从复合命题角度看，命题“2≥1”，其实质是“2=1或2>1”，即为这是一个复合命题，“p和q”中有一个命题为真时，“p或q”即真.
尝试4：从逆否命题角度看，若“p真，则非p假”，若“p假，则非p真”，
尝试5：从命题否定角度看，看问题的反面，假设“2≥1”不对，则“2<1”必对，显然这是错的，所以2≥1正确，
尝试6：从不等式角度看，若a≥b>c成立.则a≥c成立.
点评：经过上述几个视角的变换，学生从生活经验到感性体验，从感性体验到理性认知.从理性认知到符号抽象，从符号抽象到逻辑演绎，经历了一个螺旋上升的过程，其间从学生经验基础做起.逐渐向数学化过渡，数学思维逐层递进，这一过程可以说是数学抽象问题“初等化”的逆过程，符合学生的心理认知，便于问题解决，又使学生数学思维得到发展. 教学反思
在数学解题教学过程中，由于教师与学生的认知基础存在着落差，一般来说教师的起点高一些，学生的起点低一些.借助“初等化”的方法，从学生原有认知基础组织教学，有助于学生认知结构的重建，达到固本培元的效果，但“初等化”方法的使用也有要求，在运用时要遵循其内在规律.才能达到最佳效果，
首先，“初等化”方法应用需要构建认知平台.学生的认知水平与其获得的学习经验是密不可分的.应用“初等化”方法进行解题教学时，需要教师找出学生认知起点，即从学生思维最近发展区搭建认知平台，这种认知平台有时是基于学生生活经验积累和生活实际需求而产生的.在进行解题教学时要善于把学生在生活中获得的经验、能力引入解题教学中，把课堂中的数学问题以生活化的形态呈现.化抽象的数学问题为易于学生理解的事例，学生的学习经验也是建构认知平台的基础.解题教学中我们可以利用符号运算、构建图形、画流程图、动态模拟演示等辅助手段，建立与学生原有知识的联系，搭建新的认知结构与旧的认知结构之间的连线，实现解题的“初等化”处理.
其次，‘初等化”方法应用还需要关注数学化，“初等化”方法尽管可以通过生活经验和生活实例来实现，但数学解题中的“初等化”最终目的在于“落实数学化，即对数学本身的数学化”.我们通过数学符号语言表述和逻辑演绎来呈现数学化，体现数学思维的严谨性，符号语言作为数学中通用的特有语言.是数学抽象性的一种表现，是数学化的一种呈现，由于数学中的每一道试题都有严格的推理，逻辑演绎呈现了这种推理的过程，体现出对数学对象、数学运算、数学关系的整合，是数学化的高端呈现.这种数学化的过程利于学生数学思维的养成.因此我们在进行“初等化”处理的同时更应关注数学化，回归数学的本质去.
再者.“初等化”方法应用需要为学生思维留白.在解题教学中“初等化”方法是从学生的认知基础人手，有效降低了教师与学生在认知基础上的差异，使学生解题产生顿悟，获得学习的喜悦.但这一过程由于教师的干预，学生学习相对被动，数学思维发展被“掐尖”，不利于学生数学能力的提升，因此教师在进行解题教学时，“初等化”的过程推出要慢一些.给学生留下思考的空间.甚至这种过程放手给学生来完成.教师要学会做一个指导者，借助自己较高的认知基础，帮助学生建构认知平台，形成科学的思维体系.有时教师可以留出大块的时间给学生静思，学生通过对学习内容进行更高层次的深度思维，利于理解、感悟，有利于对文本的多元化、个性化的解读.