为了研究复平面C上的bi-Lipschitz映射的近似理论和单叶性问题，1961年，John引进了一类域．此类域于1978年被Martio和Sarvas命名为John域．为了推广Ahlfors关于拟圆中共形映射单叶性性质的研究，1978年，Martio和Sarvas提出了一类新的域：一致域．众所周知，关于拟圆性质的研究已有许多，并已得到广泛应用．由于John域和一致域均为拟圆的推广，从而这两类域能保持拟圆的哪些性质、又具有哪些独特性质等受到了人们极大的关注．双曲空间Hn中关于Poincaré度量的等距映射是Klein群和双曲流形中的基本组成元素，故它们具有哪些特性是一个基本而又重要的问题． 本学位论文主要内容包括两个方面．第一个方面，利用拟双曲度量、jD度量、Apollon度量及其对应的内度量等来刻划一致域和John域，得到了一系列结果，从而解决了由Broch、Hasto、Ponnusamy、Sahoo、Vaisala在《Results in Mathematics》等上提出的三个公开问题．另一方面，讨论了Hn中关于Poincaré度量的等距映射的特征问题，并完全解决了最近由李保奎和姚国武在《Mathematical Proceedingsof Cambridge Philosophy Society》上提出的猜测． 第一章，主要介绍了研究问题的背景和得到的主要结果． 第二章，讨论了Euclid空间Rn(n≥3)中拟共形映射中的Riemann映射定理，证明了Rn中的有界凸域一定是拟球，从而推广了已有的相关结果，也说明拟共形映射中的Riemann映射定理对Rn(n≥3)中的有界凸域是成立的． 第三章，利用双曲度量和λ-Apollon度量得到了C中的Jordan域是John圆的一个充分条件，同时构造了两个例子说明此结果的逆不成立．从而完全解决了Broch于2004年提出的一个猜测． 第四章，利用测地线的最大最小性质、拟双曲度量及Apollon度量等，得到了John域的三条特征．这些特征是Gehring、Hag、Herron及Broch等所得相应结果的推广． 第五章，主要研究Apollon内度量和一致域之间的关系．利用Apol-lon内度量，得到了一致域的一个充要条件．此结果说明，完全解决了Hasto、Ponnusamy、sahoo于2006年提出的公开问题．同时，本文讨论了拟迷向域、Apollon拟凸域和A-一致域彼此之间的关系． 第六章，作为第五章中讨论的继续，利用类似于第五章中的方法，讨论了Apollon内度量和John域之间的关系，得到了有界Jordan域是John域的一个充分条件，从而完善了第五章中的相应讨论． 第七章，研究了Rn中John域的可分解性和可去性．在此章中，定义了John域可分解性的概念，证明了Rn中的域是John域当且仅当此域是John域可分解的；同时还得到了Rn中的任意一个John域去掉其中有限个点后还是John域，并给出了所得结果的应用．还构造例子说明结论中的条件“有限个点”的最佳性． 第八章，主要研究了Rn中一致域的可分解性及实赋范向量空间中拟测地线的拟凸性．首先，在Rn中定义了一致域可分解性这一概念，它是拟共形可分解性的推广．利用构造的方法，证明了Rn中的域是一致域当且仅当此域是一致域可分解的．作为应用，构造实例说明Rn中存在不是拟球的一致域．其次，证明了实赋范向量空间中的拟测地线是拟凸的．此结果肯定回答了Vaisala于2005年提出的一个公开问题． 第九章，讨论了Hn中关于Poincaré度量的等距映射的特征问题．结果是：Hn中把r维双曲面(1≤r