本文利用变分学的基本原理和方法，考虑两个问题。一是有关各向异性的易轴Landau-Lifshitz方程的某种周期解的存在性，二是有关一类加权的Gagliardo-Nirenberg不等式的最佳常数问题。　　 易轴的各向异性Landau-Lifshitz方程为:ut=u×(△u+λu3e3)，其中u(x，t):R×R→S2，λ∈R，e3=(0，0，1)。考虑如下形式的周期解，u(x,t)=(eiωt sin h(x-ct),cos h(x-ct)).　　 从而，问题转化为考虑常微分方程的初边值问题的可解性。须分两种情况讨论，当λ＞ω时用变分法，当λ=ω时用打靶法，得到了满足特殊初边值条件周期解存在的充分必要条件。此为论文的主要结果。　　 也考虑了如下的加权Gagliardo-Nirenberg不等式得到了该不等式的极值函数的存在性。