毒品作为全球性三大社会公害之一,不但严重损害了人们的身心健康,而且对人类的生存以及发展造成了重大威胁,已经引起了国际社会的广泛关注.本文对毒品传播问题进行建模,主要运用微分方程定性理论、分支理论以及反应扩散方程等相关知识对模型进行动力学行为分析,重点讨论了平衡点的稳定性、Hopf分支、Bogdanov-Takens分支、极限环的存在性以及扩散情况下行波解的存在性,并且分析了系统中参数对其动力学行为的影响.首先,建立了两类海洛因毒瘾传播模型.考虑到易感者常常要经过两次或者两次以上与海洛因毒瘾者接触才会产生毒瘾,因此在模型中引入了非线性发生率βsu₁².另外考虑到医疗资源有限等因素,建立了具有非线性恢复率的海洛因传播模型.通过定性和分支分析,讨论了这两类模型平衡点的类型并且证明了模型会发生鞍结点分支、Hopf分支和余维2的Bogdanov-Takens分支,甚至可能会发生余维数至少为3的Bogdanov-Takens分支等复杂的动力学现象.其次,考虑到合成毒品首先在心理上对人产生毒瘾,因此针对当前合成毒品的传播现状,建立了一个具有心理成瘾者的四维毒品模型.文中对不同类型的发生率进行讨论,得到了不同的基本再生数.利用阈值给出了无毒平衡点的局部稳定性条件,并且通过构造李雅普诺夫函数的方法研究了平衡点的全局稳定性.由于媒体报道对于传染病的传播和防治起着重要的作用,因此在毒品模型中考虑了发生率βe^-m₁U-m₂H来刻画媒体报道这一因素.通过对基本再生数的分析得到了毒瘾传播的能力与媒体报道的力度无关,而对模型平衡点处的敏感度分析则表明媒体报道的力度可以影响平衡态时吸毒者的数量.这些结果都用数值模拟得到了验证.最后,研究了一类具有扩散作用和一般的非线性发生率的SIR型传染病模型.文中假设非线性发生率满足一定的单调性条件,这些条件对于一些毒品的传播情况同样适用.文中考虑了具有扩散项的模型平衡点的局部与全局稳定性,并且利用上下解技术和不动点定理讨论了系统行波解的存在性,给出了最小传播速度的表达式.这些结果说明感染者个体的扩散速度对于传染病或者毒品传播起着重要的作用,同时也为制定相应的预防措施等提供了理论依据.