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Einstein方程的精确解在引力理论中有重要的作用。随着近年来宇宙学的发展，具有宇宙学意义的Einstein方程的精确解是一个值得研究的方向。这类解一般有如下特点，一方面是含有有宇宙常数或与宇宙常数行为接近的成分，另一方面是要考虑到宇宙不是Einstein流形，因为宇宙是含有物质的，可以用理想流体来描述。作为标准宇宙学模型的宇宙常数-冷暗物质（ACDM）模型是以Friedmann-Robertson-Walker（FRW）度规和理想流体为基础的，已经得到大量观测数据的支持。额外维和膜宇宙的图景促进了高维Einstein方程的精确解的发展，宇宙学要求4维时空应作为高维时空的一个子流形。本文主要寻找一些有较强概括力的精确解，并发现多个精确解之间的关系。
在第一章中，通过一个推广的物态方程，将ACDM模型的理想流体推广为更一般的粘滞流体。这个推广基于一个简单的事实，物态方程p=-p0结合Friedmann方程即可得到ACDM模型。推广的物态方程可以统一描述理想流体项、粘滞效应和宇宙常数，并且此时的Friedmann方程有精确解，这个解概括了很多文献中的已经得到过的解。出现这个解的原因是一个Riccati变量代换可以把此时的Friedmann方程线性化。
在第二章中，考虑了更一般的情况，即物态方程参数和宇宙常数都可以是尺度因子的函数，对Riccati变量代换进行了更一般的推广，并提出了对应的Hamilton形式。这个只含一个广义坐标的无约束Hamilton系统给出Friedmann方程作为其运动方程，描写了一个可变质量的质点在某个势场中的运动。推广后的非线性变换对应Hamilton形式中的一个正则变换，经过这个正则变换后，可以进一步简化成固定质量的质点在另外一个势场中的运动。在这个框架下，作为一个具体的例子，ACDM模型对应于一个（倒）谐振子。这个Hamilton形式可以进一步推广到有粘滞性的情况，上述的非线性变换揭示了精确解出现的原因。
在第三章中，求出并研究了一个5维Einstein方程的精确解，这个解描写的是把FRW宇宙作为理想流体嵌入5维Einstein时空，此时FRW宇宙是5维Einstein时空中的一个4维超曲面。这个解具有很强的一般性，含有两个任意函数和3个常数，赋予这些任意函数和常数以特定的形式可以得到多种宇宙演化的方式。这个5维解揭示了很多其它5维解之间的内在联系：（1）这个解在一定边界条件下的特解就是Randall-Sundrum模型中的一个解；（2）这个解可以从5维拓扑黑洞经过坐标变换得到，但是在其它维这种坐标变换不能显式地写出来，这是这个精确解出现的第一个原因；（3）这个解的假设可以从5维Lemaitre-Tolman-Bondi度规通过Wick转动得到；（4）这个解在宇宙常数趋于零的情况下化为Liu-Mashhoon-Wesson解。这些解之间的关系从多个角度印证了Gauss正交坐标系下的5维Einstein时空有很强的特殊性。如果5维的宇宙常数是正的，那么度规周期性地依赖于额外维，因此可以自然地把额外维紧化到S1上。在Gauss正交坐标系下，通过一个高维的假设，可以看出Einstein方程的四维时空部分化成一个有源的Helmholtz方程，即线性的方程，这个线性结构是这个精确解出现的第二个原因。