在微波工程中，波导和谐振腔都是十分重要的微波器件，这些微波器件广泛地用于我们的现实生活中.在波导问题中，如果电磁波的频率给定，那么传播常数就是一个非常重要的物理参数.在谐振腔问题中，谐振频率是一个十分重要的物理参数.当波导横截面不规则或者填充有非均匀介质时，此时波导问题的解析解是很难找到的;当腔体的几何结构十分复杂或者填充有非均匀介质时，此时谐振腔问题的谐振频率的精确解也是很难找到的.但是我们往往需要知道这些微波工程器件的这些物理参数，所以通常采用数值方法去近似求解它们.电磁学中的波导问题和谐振腔问题大多数是关于curl-curl算子特征值问题，这些特征值问题统称为Maxwell特征值问题.关于Maxwell特征值问题的数值求解，如果数值算法使用不当，数值结果中会产生伪的数值特征值.比如使用节点基有限元去求解非均匀波导问题时，数值结果中就会有伪特征值.好的数值算法必须能够去除这些所有的伪特征值，并且计算量要尽量小，数值结果收敛到准确解的速度要快.本文主要讨论Maxwell特征值问题的混合有限元法，其主要内容包括:　　第一章，我们回顾了电磁场理论，其中包括Maxwell方程组，本构关系，边界条件.然后我们回顾了有限元技术，同时也给出了常用的Green公式.最后我们给出了抽象代数中群的定义，这是因为在波导问题那一章会用到.　　第二章，传统棱边有限元法在求解矢量Maxwell特征值问题会导致非物理意义下零特征值出现，我们处理这个众所周知的问题.对于填充有各向异性无损耗介质的二维谐振腔问题，本章使用混合有限元法成功的去除了这些非物理意义下的零模式.我们引入了一个拉格朗日乘子去处理散度自由条件的限制.我们的方法是基于CT/LN或者LT/QN棱边基函数去展开电场矢量，P1或者P2节点基函数来展开拉格朗日乘子.数值实验证明我们的方法能够成功的移除所有非物理意义下的非零模式和零模式，并且验证了当二维腔体具有连通的理想电导体边界时，那么不存在物理意义下的零特征值.否则，物理零特征值的个数比不连通理想电导体边界条件少一.数值实验也证明了当准确特征函数的光滑性非常好时，高阶混合有限元法能够增强数值特征值的收敛阶;当准确特征函数的光滑性非常不好时，高阶混合有限元不能改善数值特征值的收敛阶，可能需要局部网格加密技术.　　第三章，基于抽象代数中交换群论的思想，对于填充有均匀各向异性无损耗介质的波导问题，我们找到在此波导中存在独立TE模式和TM模式的充分条件.对于独立的TE模式，我们从理论上证明了分别使用磁场纵向构件和电场横向构件去模拟这些TE模式所得到的非零截止波数是相同的.对于独立的TM模式，我们从理论上证明了分别使用电场纵向构件和磁场横向构件去模拟这些TM模式所得到的非零截止波数也是相同的.我们开展了一些数值实验来验证我们建立的条件的正确性.在微波工程界，我们希望这个条件的提出对于填充有均匀各向异性无损耗介质的波导设计是有帮助的.最后我们根据无源的Maxwell方程组给出了非均匀各向异性无损耗介质中波导的支配方程，并且我们利用混合有限元法求解了一个填充有非均匀各向同性介质的波导问题.　　第四章，我们处理三维谐振腔问题，这个问题就是使用传统的棱边有限元法去求解三维谐振腔问题会导致非物理意义下的零模式.本章主要研究填充有各向异性无损耗介质的三维谐振腔问题，该腔体的几何结构非常复杂，并且该腔体的边界是由理想电导体壁组成的.本章节中的方法能够成功消灭所有非物理意义下的非零模式和零模式.我们引入了一个拉格朗日乘子去处理散度自由条件的限制.我们的方法是基于CT/LN棱边元基函数去展开电场矢量，线性元基函数去展开拉格朗日乘子的混合有限元法.同时，我们的方法被推广到使用LT/QN棱边基函数去展开电场矢量，P2节点基函数去展开拉格朗日乘子的二阶混合有限元法.一些数值实验验证了我们方法的有效性.与此同时，数值实验表明当三维腔体仅有一个连通的理想电导体边界时，那么不存在有物理意义下的零模式;当三维腔体有一些不连通的理想电导体边界时，那么物理零模式的个数比不连通理想电导体边界的个数少一.由于腔体问题数值求解的计算量特别大，特别是三维的谐振腔问题.对于谐振腔问题的数值计算，我们发展了一种新的二网格方案.数值实验证明这种新方案也能够去除所有非物理意义下的非零模式和零模式，并且新方案能够有效地降低计算量.　　第五章，我们列出了一些在计算电磁学中具有挑战性的问题，其中包括带有电导率损耗介质的三维谐振腔问题，填充无损耗介质的开放三维谐振腔问题.关于带有电导率损耗介质的三维谐振腔问题，这是一个非线性PDE特征值问题.直到现在，这个问题还没有被一种好的数值方法所彻底解决.当然，这个新的数值方法必须去除所有非物理意义下的非零模式和零模式.关于填充无损耗介质的开放三维谐振腔问题，其主要的困难在于计算区域是无界的.然而大多数关于PDE的数值方法是在有界区域上开展的.我们借助PML技术来截断无界区域.因为在PML中的介质是带有电导率损耗的，使用混合有限元法去求解三维开放谐振腔问题会引入PML伪模式.如何去除这些PML伪模式是一个重要的问题.最后对于无损耗各向异性介质的谐振腔问题，我们想要研究混合有限元法的先验误差估计.