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将一个电网络N抽象成一个赋权图G, N中的节点看作是G中顶点, N中每个电阻看作G中的边,边的权值表示其电导(其中电导是电阻值的倒数).电网络N中的两个节点i,j之间的有效电阻称为图G的两个顶点i,j之间的电阻距离,记为rij(G).电阻距离是图上的一种距离函数,近年来,电阻距离在图的随机游动、电子工程、复杂网络和化学图论等方面具有广泛的应用,吸引许多国内外学者的关注. 基尔霍夫指标也是一个重要的拓扑指标(图的不变量),它产生于分子结构，是分子结构数值化的一种方式，它还能够反映出化合物的结构特征.除此之外,度基尔霍夫指标(包括乘法度基尔霍夫指标和加法度基尔霍夫指标)也是重要的指标. 本文工作的创新点主要在以下几方面有所体现: (1)通过 Laplacian矩阵的秩1扰动构造一个可逆矩阵L+ehT,其中e=(1,1…1T),h=(h1,h2,…hn)T.利用矩阵L+ehT的逆阵X=(L+ehT)-1的元素获得图G的电阻距离rij=xii+xjj-xjj-xji．该结果只需求解矩阵X的逆,即可求出对应的电阻距离,这样可以避免矩阵的{1}?逆不唯一的问题.该结果的另一个好处在于可以根据不同的实际情况选取适当的列向量h(列向量h满足n∑i=1hi≠0). 本文又构造出矩阵Z=(L+πhT)-1,其中π=(d1,d2,…,dn)T.同样地,我们可以利用矩阵中的元素得到电阻距离rij=zii+zjj-zij-zji. (2)本文还利用矩阵X的迹求出基尔霍夫指标、度基尔霍夫指标的表达式. (3)1982年, Godsil和Mckay给出若干种方法构建非同构的同谱图,其中GM变换是最经典的方法.本文基于GM变换,给出变换前后非同构同谱图之间电阻距离的关系以及度基尔霍夫指标之间的关系: {V1,V2}是图G=(V,E)的顶点集的一个划分,~G是变换后的图,当图中两点 i,j∈V1(V2)时,图~G的电阻距离~rij=rij;当i, j不同时在V1或者V2中时,有~rij=rij-4(S＃NC-1)ij. G与~G的基尔霍夫指标、度基尔霍夫指标之间的关系分别为Kf(~G)=Kf(G);Kf*(~G)=Kf*(G);Kf+(~G)=Kf+(G)本文首次给出GM变换前后图的电阻距离之间、基尔霍夫指标之间以及度基尔霍夫指标之间的关系.