算子的有界性是调和分析以及偏微分方程中一类非常重要的问题。很多问题都与其密切相关,如Fourier级数的收敛性、偏微分方程解的适定性等。本文主要是研究几类算子在一些函数空间上的估计,共分为五章。第一章主要研究的是分数次积分算子Iα及双线性分数次积分算子B。在模空间Mp,q(R”)上的有界性。众所周知,在经典的Lebesgue空间Lp(Rn)上很多算子都不是有界的,于是我们就用其他的函数空间来替代它。其中比较重要的一个就是模空间Mp,q(Rn),它的定义将在本章第二节给出。近些年来,模空间及其应用吸引了很多人的关注,读者可以参见文献[7、19、60、61、63、64、66]。特别是在最近的研究工作中,我们得知幺模Fourier乘子算子Sβ(t)=eit|Δ|θ/2在Mp,q(Rn)上是有界的,这里的p,q∈[1,∞],可见文献[5、9、10、11、12、45]。而Sβ(t)=eit|Δ|β/2的象征为eit|ξ|β(β>0,t∈R),它在调和分析以及偏微分方程中都有非常重要的作用。我们知道S1(t)、S2(t)、S3(t)分别与波方程、Schrodinger方程、Airy方程有着密切关联。一般情况下,除p=2外,Sβ(t)=eit|Δ|β/2在任何Lp(Rn)空间上都是无界的。因此,在研究Sβ(t)的有界性时,模空间便是Lp(Rn)空间的一个很好的替代。有了这些研究工作之后,很自然地就会想到去研究除Sβ(t)之外的其他算子是否在模空间上具有与其在Lebesgue空间Lp(Rn)上不同的有界性性质。本章讨论的一个重要算子就是分数次积分算子Iα,其定义如下这里下面的定理是分数次积分算子在Lebesgue空间Lp(Rn)和Hardy空间Hp(Rn)上有界性估计的基本结果。这里我们记Hp(Rn)=Lp(Rn)(1<p<∞)。定理A([16])设Hp(Rn)为Hardy空间,0<p1,p2<∞,0<α<n,若则分数次积分算子Iα是从Hp1(Rn)到Hp2(Rn)的有界算子。最近,在文献[60]中,Sugimoto和Tomita将定理A的结论延拓到模空间上,他们得到了如下定理。定理C([60])设0<α<n,1<p1,p2,q1,q2<∞。分数次积分算子Iα是从Mp1,ql(Rn)到Mp2,q2(Rn)的有界算子,当且仅当对比定理A和定理C,不难发现分数次积分算子Iα的有界性在模空间上p1、p2的范围要比在Lebesgue空间上大。因此,将定理C中条件1<p1,p2,q1,q2<∞放宽或者去掉就是一个很有意思的问题。受此启发,我们讨论了在没有条件1<p1,p2,q1,q2<∞时,Iα从Mp1,q1(Rn)到Mp2q2(Rn)的有界性。当0<p≤1时,我们利用Hp范数去定义Modulation Hardy空间μp,qs(Rn),且μp,qs(Rn)-Mp,qs(Rn)(P>1),详细定义可见本章第二节。下面两幅图表示分数次积分算子Iα的有界性中指标(1/p,1/r)的范围。在图1和图2中,以(α/n,0)为端点的射线是由所有满足Iα从Hp(Rn)到Hr(Rn)有界的指标对(1/p,1/r)组成,含边界的阴影部分是由所有满足Iα从μp,q2(Rn)到μrq1(Rn)有界的指标对(1/p,1/r)组成,此时q1,q2满足1/q2≤1/q1+α/n。此外,利用模空间的等价定义,我们简化了文献[60]中给出的定理C充分性的证明,同时对其必要性也做了推广。下面给出我们的结果。定理1.1设0<p≤1,0<q<∞,0<α<n,若则定理1.2设0<α<n,1<p<∞,0<q1<∞,0<q2≤∞,若则Iα是从Mp,q1(Rn)到M∞,q2(Rn)的有界算子。反之,设p>1,0<q1<∞,0<q2≤∞,若Iα是从Mp,q1(Rn)到M∞,q2(Rn)的有界算子,则在文献[27]和[33]中,作者引入了双线性分数次积分算子Bα作为Iα的推广,其定义为并且得到了Bα在Lebesgue空间Lp(Rn)上的估计。定理B([27][33])设1≤p1,p2≤∞,0<α<n,若对所有f∈Lp1(Rn),g∈Lp2(Rn),有如下结论：(1)当Pi>1,i=1,2时,有(2)当Pi≥1,i=1,2,且p1和p2至少有一个为1时,有与Iα类似,这里我们也考虑了Bα在Mp,q(Rn)上的有界性,并得到了下面的结果。定理1.4若0<α<n,1<p<n/n-α,0<q<∞,则特别地,若1<p<n/n-α,p≤q,则第二章主要研究的是三类求和平均算子即Poisson求和PN、Gauss求和GN、Bochner-Riesz求和BNδ以及它们的极大算子只、G*、B*δ在Triebel-Lizorkin空间Fpα,q(Rn)(0<p≤1)上的有界性。设N≥1,这三个算子依次定义如下相应的极大算子分别定义为我们知道这三个算子及其极大算子在研究Fourier级数球型求和时起着重要作用。为了研究Fourier级数在某(quasi)Banach空间X上的收敛性,我们通常要得到这些算子在X上的有界性。进一步地,若要得到点态收敛性,我们就要考虑相应的极大算子在X上的有界性。本章主要是讨论X为Triebel-Lizorkin空间Fpα,q(Rn)(0<p≤1)时的情形,其定义将在本章第二节给出。在文献[43]中,Lu和Yang得到了BNδ在Fpα,q(Rn)上的有界性。定理D([43])设α∈R,0<p≤1,0<q≤∞,令J=n/min{p,q},若则BNδf是Fpα,q(Rn)上的有界算子。即这里的常数C与N及f均无关。受此启发,我们也希望得到PN和GN在Fpα,q(Rn)上的有界性。另一方面,PN和GN都是Hp(Rn)有界的,同时HP(Rn)≈Fp0,2(Rn),所以将它们的有界性推广到一般的Fpα,q(Rn)上也是很自然的想法。综合这两方面的考虑,我们得到了下面的结果。定理2.1设α∈R,0<p≤1,0<q≤∞,则PN,GN都是Fpα,q(Rn)上的有界算子。即这里的常数C与N及f均无关。本章的第二部分结果是三个极大算子P*、G*、B*δ在Fpα,q(Rn)上的估计。对于B*δ, Stein、Taibleson和Weiss得到了它在Hp(Rn)上的弱型估计,参见文献[59]。定理E([59])设0<p<1,令δ=n/p-n+1/2,则这里的常数C与入及f均无关。与定理2.1的想法类似,我们希望将上面的结果推广到一般的Fpα,q(Rn)上。幸运的是,通过对FPα,q(Rn)原子分解的仔细观察,我们得到了下面的结果。定理2.2若δ>n-1/2,α>n,n/a+δ+n+1/2<p<min{n/α,q},则这里的常数C与f无关。注记2.3对固定的p、α,定理2.2中的条件可等价为对δ的要求易知,δ=n/p-n+1/2满足上述条件。也就是说,我们对δ的要求更低,尽管有α>n的限制。例如,取n=3,p=1/100,q=2,则在定理E中δ=298,而在定理2.2中我们只要求δ>298-α(α>3)。注记2.4在定理2.2中,若将B*δ换成P*或者G*,也有类似的结论,证明与定理2.2类似。尽管注记2.4中已得到了P*和G*在Fpα,q(Rn)上的估计,但我们觉得这个结果还是很弱的。于是,我们重新考虑了这种情形,发现利用Han、Paluszynski和Weiss引入的Fpα,q(Rn)新的原子分解,可以得到只和G*在Fpα,q(Rn)上的一个强型估计。定理2.5设0<p<1<q<∞,0<a<1,则只和G*均是从Fpα,q(Rn)到L∞(Rn)有界的。第三章主要研究的是Hausdorff算子Hφ在局部Hardy空间h1(R)、Triebel-Lizorkin空间Fpα,q(R)(0<p≤1)、模空间Mp,q(R)三类函数空间上的有界性。给定一个定义在(0,∞)的函数φ,Hausdorff算子定义为当φ(ξ)=α(1-ξ)α-1X(0,1)(ξ)时,Hφ就是所谓的α阶Ces-ro算子Cα。对于离散的级数求和形式,早在上世纪20年代末,Hardy证明了如果∑n=0∞αncosnx是一个Lp(0,π)(1≤p≤∞)函数的Fourier级数,则∑n=0∞(Ta)ncosnx也是,其中(Ta)0=αo,(Tα)n=a1+α2+…+αn/n,并且对正弦级数也有同样的结论,具体可参见文献[30]。在文献[34]中,Kinukawa和Igari证明了如果∑n=1∞bnsinnx是一个Fourier级数,则共轭级数∑n=1∞(Tb)ncosnx也是一个Fourier级数。Siskakis在文献[55]中得到了在单位圆盘Hardy空间H1(D)上的估计,设f=∑k=0∞akzk,则算子C*f(z)=∑n=0∞[(n+1)-1∑k=0∞αk]zn在H1(D)上是有界的。对实直线上的情形,Goldberg研究了当1≤p≤2时,算子Hφ在Lebesgue空间Lp(R)上的作用性质([26])。在文献[23]中,Georgakis讨论了Hφ作用在复有界Borel测度上的Fourier解析性质,作为一个特例,他证明了当φ∈L1(R)时,Hφ是L1(R)上的有界算子。最近几十年,人们主要关注的是Hausdorff算子在Hardy空间上的有界性。为了叙述方便,我们先定义两个数：显然,若Aφ,p<∞,则Hφ是Lp(R)上的有界算子。不仅如此,在文献[39]中,Liflyand和Moricz得到了如下定理。定理J([39])若Aφ,1<∞,则Hφ是H1(R)上的有界算子。因此,当Aφ,1<∞时,Hφ同时是L1(R)和H1(R)上的有界算子。而我们知道局部Hardy空间h1(R)(具体定义见本章第一节)与Lebesgue空间L1(R)、Hardy空间H1(R)有如下嵌入关系：那么很自然地就会问Hφ在h1(R)上是否有界?本章第一个结果就是回答这个问题。定理3.1若Aφ<∞,则Hφ是h1(R)上的有界算子。当0<p<1时,Liflyand和Miyachi讨论了Hφ在HP(R)上的有界性,得到了如下结果。定理K([40]])设0<p<1,M=[1/p-1/2]+1。若φ∈CM,且suppφ是(0,∞)中的一个紧子集,则Hausdorff算子Hφ是Hp(R)上的有界算子。与定理2.3的原始想法一致,我们希望将定理K的结果推广到Fpα,q(R)上。由此,我们得出了本章的第二个定理。定理3.2设0<p≤1,0<q<∞,α∈R,令J=1/min(p,q),[α]+max(0,[α]),L为大于max(J-2,[J-1-α])的最小正整数。若φ∈CL+2+[α]+且suppφ是(0,∞)中的一个紧子集,则存在依赖于p,q,α,φ的常数C使得对任意的f∈S(R),有进一步地,HH-可以延拓成Fpα,q(R)上的有界算子。我们知道,研究非卷积型算子在模空间上的估计是一个很有意思的问题。而HH-就是一个非卷积型算子。因此,本章最后讨论了Hφ在模空间上的估计。结合第一章模空间的定义及其相关性质,我们比较容易地得到了Hφ在Mp,q(R)上的估计。但由于模空间范数关于展缩变换的估计式比较复杂,我们只给出下面两个定理。定理3.3设1≤p≤q≤∞,令则存在与φ及f无关的常数C使得定理3.4(i)设1≤p≤2,若φ满足则Hφ是模空间Mp,p(R)上的一个有界算子。(ii)设2≤p≤∞,若φ满足则Hφ是模空间Mp,p(R)上的一个有界算子。第四章主要研究的是极大函数Mω(|f|p)1/p和Mf在加权Orlicz-Morrey空间上的有界性,同时也给出了极大函数Mω(|f|p)1/p在其上有界的必要条件。我们知道Orlicz空间是Lp(Rn)空间一种重要的推广,其作用体现在刻画Hardy-Littlewood极大函数在L1(Rn)附近的有界性[15、35、36]。在文献[46]中,Morrey首先引入了Morrey空间来估计偏微分方程的解,后来Chiarenza、Nakai等人考虑了Hardy-Littlewood极大函数在其上的有界性[14、47、49]。最近,Nakai引入Orlicz-Morrey空间作为Orlicz空间和Morrey空间的统一体,同时给出了Hardy-Littlewood极大函数在其上有界的充要条件,如下定理。定理L([48])设φ,ψ∈y,φ,ψ∈g,则下面两个条件等价：(i)存在A≥1,使得此外,若则(ⅱ) Hardy-Littlewood极大函数Mf是从Lφ,φ(Rn)到Lψ,ψ(Rn)的有界算子。在文献[8]中,Bloom和Kerman给出了极大函数Mf在加权Orlicz空间上有界性。而在文献[38]中,Komori和Shirai讨论了极大函数Mf和Mωf在加权Morrey空间上的有界性。本章的主要目的是研究极大函数Mω(|f|p)1/p和Mf在加权Orlicz-Morrey空间上的有界性。同样,加权Orlicz-Morrey空间可作为加权Orlicz空间和加权Morrey空间的统一体。首先,我们给出一些必要的定义：g={φ：(0,∞)→(0,∞)：φ几乎单调递减,φ(r)r几乎单调递增}y={Young函数φ：任意的r∈(0,∞),0<φ(r)<∞}。给定Young函数φ,φ∈g,权函数ω,Rn中的球B,记定义4.4给定Young函数φ,φ∈g,权函数ω,加权Orlicz-Morrey空间定义为当ω三1时,上述空间就是Nakai引入的Orlicz-Morrey空间。给定Young函数φ和p∈[1,∞),令φ(r)：=φ(P),则φ也是一个Young函数。此外,如果中∈y,则φ∈y。下面我们给出本章讨论的极大函数。定义4.9对给定的p∈[1,∞),加权Hardy-Littlewood极大函数定义为而Mf表示经典的Hardy-Littlewood极大函数。对于权函数类,我们仍用Ap(1≤p≤∞)表示经典的Muckenhoupt权,详细定义在本章第二节,同时我们引入下面的权类：A*={ω(x)：存在C>0,对任一方体Q,A∈Q,使得ω(A)/ω(Q)≥C|A|/|Q|｝。显然A1∈A*。下面给出我们的主要结果。定理4.1设φ,ψ∈y,φ,ψ∈g,ω∈A∞,p∈[1,+∞),如果存在常数A>0,使得此外,若有则Mω(|f|p)1/p是从Lφ,φ,ω(Rn)到Lψ,φ,ω(Rn)的有界算子。推论4.2在定理4.1的条件下,Mω(|f|r)1/r(r∈[1,p])和Mf均是从Lφ,φ,ω(Rn)到Lψ,ψ,ω(Rn)的有界算子。定理4.3设φ∈Δ2,ψ∈y,φ,ψ∈g,p∈[1,+∞),若Mω(|f|p)1/p是从Lφ,φ,ω(Rn)到Lψ,φ,ω(Rn)的有界算子,ω∈A*,ω(Rn)=∞,则存在常数A>0使得(4.1)、(4.2)两式成立。第五章主要研究的是Dirac算子H零模和零共振的一些性质。我们先给出Dirac算子的定义。记三个2×2 Pauli矩阵为令α=(α1,α2,α3)为一个三维矩阵值向量,其中设Q(x)=(qij(x))i,j=1,…,4为一个在无穷远处消失的4x4 Hermitian矩阵值函数,即每个qij在无穷远处消失。Dirac算子定义为当Q(x)三0时,记H0=α·D。事实上,Dirac算子是经典的(?)Veyl-Dirac算子的一般化,参见文献[4]。而文献[22]中提到,在磁场Coulomb系统的稳定性研究中,Weyl-Dirac算子零模(即其零特征值的特征函数)的存在性起着非常重要的作用。Loss和Yau首先构造出了、Veyl-Dirac算子的零模,并且他们的结果在文献[22]中得到了很好的应用。从数学和物理的角度来看,算子的零模有着丰富的应用,具体可见文献[1、2、4]。而最近的相关工作,读者可以查看文献[50、53]。一般对矩阵Q,我们假设下面的速降条件。条件5.1 Q(x)=(qij(x))i,j=1,…,4,每个qij(x)都是R3上的可测函数,满足定义5.2若f∈DomH=H1(R3),且则称f为算子H的零模。若存在s>0,f∈L2,-s(R3)L2(R3),在广义意义下成立此时称f为算子H的零共振。在文献[54]中,Saito和Umeda讨论了H的零模和零共振的性质,得到了下面的结果。定理M([54])若存在ρ>1使得条件5.1成立,f为一个零模,则(ⅰ)存在常数C=Cp,f,对任意的x∈R3,成立(ⅱ)f是R3上的一个连续函数。定理N([54])若存在ρ>3/2使得条件5.1成立,f∈c2,-s(R3),0<s≤min{3/2,ρ-1},且广义下成立Hf=0,则f∈H1(R3)。本章就是利用简单的方法,推广了上面的结果,主要是放宽了上述结论中对ρ的要求。这里需要注意的是用文献[54]中原来的方法,不能得到我们的结果。定理5.3若存在ρ∈(1/2,1]使得条件5.1成立,f为一个零模,则(ⅰ)任意的ρ’<ρ,存在常数C=Cρ,ρ’>0,对所有x∈R3,成立(ⅱ)f是R3上的一个连续函数。定理5.4若存在ρ>1使得条件5.1成立,f∈L2,-s(R3),0<s≤min{3/2,ρ-1},且广义下成立Hf=0,则f∈H1(R3)。