精算数学（Actuarial Mathematics）,又称为保险数学,概括而言是利用数理模型来估计和分析未来的不确定事件（风险）产生的影响。精算数学中一个颇具数学内涵、有一定发展历史的研究课题为风险排序(Ordering of Risk)。所谓风险排序,实际上即是非负随机变量间的排序,在应用概率中也称为随机序,随机序也是应用概率中一个很活跃的研究领域。　　本文主要研究应用马尔科夫链及随机序相关理论对奖惩系统进行数学建模与稳态分析。奖惩系统(Bonus-Malus Systems)在精算学中属经验费率厘定范畴,它的特例是无索赔折扣（No Claim Discount,简记为NCD）系统。这两个系统已被世界上大多数国家接受,并已在车辆保险市场牢固地确立了其支配地位。这两个系统的广泛应用性已是不容置疑的事实,不过和它们的广泛应用形成鲜明对照的是,迄今鲜见有人对这两个制度作出严谨与深入的理论性分析。在现今被广泛引用的,由Bowers等撰写的关于精算数学的巨著《Actuarial Mathematics》中,甚至未花些许笔墨提及这两个制度。关于奖惩系统的权威性文献为Lemaire撰写的著作《汽车保险费的定价原理》,不过该著作侧重了精算实务,未在理论层面上对奖惩系统给出深入的分析。最近由成世学、秦婷撰写的文献《随机优序及其若干应用》首次对NCD系统作了较深刻的理论分析,本文拟把《随机优序及其若干应用》中对NCD系统所作的理论研究推广到奖惩系统中,目的是尝试在理论性研究与保险实务间寻求一个平衡点。　　本文的第一章主要介绍了精算数学,特别是奖惩系统研究方面的发展历史及其现状,并简要介绍了本文后面章节的主要内容。　　本文在第二章中,简述了齐次马尔科夫链与随机优序的基本概念及基本重要定理,旨在为以后的讨论提供必要的数学前提。马尔科夫链与随机优序是讨论奖惩系统的数学建模与稳态分析的关键数学工具。§2.1节重点介绍了齐次马尔科夫链及其平稳分布的基本概念与相关结论。§2.2节限于讨论离散的一维随机优序,重点介绍了离散分布序列在混合运算下仍是保序的一个定理（见定理2.6）。最后,在§2.3节将离散一位随机序的概念推广至随机矩阵间的随机优序,并把所得研究结果运用至马尔科夫链的稳态分析中。特别是定理2.10,将两个具有相同状态空间的齐次不可约且遍历的马尔科夫链的转移概率矩阵间的随机优序关系与它们各自的唯一的平稳分布间的随机优序关系联系了起来,是研究第四章中主要理论结果的关键性数学定理,该定理是在《随机优序及其若干应用》中首次提出并予以证明的。　　奖惩系统又称为经验评估系统,主要应用在汽车保险的定价中。这种方法对在上一保险年度有一次或一次以上索赔的投保人在新一保险年度中增收保费以示惩罚,而对没有索赔发生的投保人降低保费作为奖励。奖惩系统是无索赔折扣系统的一个扩展。一个最大的不同是BMS将NCD系统中的折扣水平扩展到了负数,这样使对投保人发生索赔的惩罚变得更加严厉,当折扣水平为负时,投保人将会支付多于甚至几倍于全额保费的保费金额。本文在第三章中主要借助齐次马尔科夫链相关理论在最一般的框架下对奖惩系统进行了数学建模及其稳态分析。§3.1节中运用马尔科夫链理论在假定A1-A4中从奖惩类总数与各奖惩类的奖惩因子、索赔发生的概率规律、向高奖励类和低惩罚类转移的共性,以及向低折扣类转移法则的特殊性四个方面进行建模,并在假定A4中介绍了两个特殊的转移法则:法则2与法则3,并给出了这两个转移法则所对应的转移矩阵P2与P3.§3.2节的定理3.1中利用齐次不可约、遍历的马尔科夫理论证明了任一奖惩系统皆存在唯一的平稳分布。在定理3.3及其证明中揭示了这个平稳分布的结构,并给出了求解这一平稳分布的通用算法。在这一节的最后还在命题3.1与3.2中给出了上一节介绍的两个特殊的转移法则对应的平稳分布Ⅱ(2)与Ⅱ(3)的显式表达式。§3.3节为对前两节诸多理论有个感性的认识,还举了符合§3.1节中假定A4中介绍的三种转移法则的简单的例子,分别计算了这三个转移法则所对应的平稳分布及其总保费收入,并由此引出了各种转移法则所对应的马尔科夫链之间极大极小元素的深层次的思考。　　如果说本文在第三章中讨论的仅仅是单一的奖惩系统,那么在第四章中讨论的则是一簇奖惩系统,它们在满足假定A1-A3的前提下,任意指定一个向低折扣类转移的法则,皆可确定一个相应的奖惩系统,从而也就存在与该奖惩系统相应的一个平稳分布,由转移法则2与转移法则3确定的平稳分布Ⅱ(2)与Ⅱ(3)只是这些平稳分布中的两个典型的代表而已。第四章重点讨论这些平稳分布之间的某种联系。在§4.1节中定理4.1证明了Ⅱ(2)与Ⅱ(3)分别是所有这些平稳分布依随机优序排序的极小与极大元素。在定理4.2中给出了当投保人数、全额保费、奖惩因子等一致的前提下,由不同转移法则的奖惩系统计算出来的诸总保费收入中,§3.1节假定A4中介绍的转移法则2与转移法则3所确定的总保费收入分别是最高的和最低的。在§4.1节中还得出了一个有趣的结论,是任一奖惩系统当索赔频数分布取成以λ为索赔频率的Poisson分布时,λ取很大值后总保费收入都将趋于一个由投保人总数N、全额保费a与最高惩罚因子sm三个参数决定的值。在§4.2节中,本文运用本文得出的诸理论研究成果对荷兰的奖惩系统作了翔实与严谨的数值分析。　　本文全面地推广了《随机优序及其若干应用》中对NCD系统得出的研究成果,该文中的所有结论皆可作为本文中相应结论的特款导出,详见注3.3、3.5、3.6与注4.1。