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矩阵的Schur补在简化大型矩阵的计算上，起到了重要的作用.它不仅能够提高矩阵的运算效率，而且在处理区域分解法、统计分析和数值分析这些问题上也发挥了重要的作用。本文在Schur补理论知识的基础之上，结合矩阵秩的性质，对分块矩阵运算的Schur补的秩进行了研究，得到一些结论，并将这些结论推广到了广义Schur补上，同时，也讨论了Hermite矩阵广义Schur补的迹的性质。 本研究主要内容包括：⑴将Schur补理论结合矩阵的加法、幂和Hadamard积这三种矩阵运算，研究分块矩阵在这三种常用的矩阵运算下的Schur补的秩的性质，分别得到了矩阵和的Schur补的秩与矩阵Schur补的秩的和的不等式，矩阵幂的Schur补的秩与其某个子块幂的秩的等式和矩阵幂的秩与其Schur补矩阵秩的不等关系，以及矩阵Hadamard积Schur的秩的不等式。⑵基于广义约束逆的理论，将分块矩阵在矩阵的加法、幂及Hadamard积下的Schur补的秩的性质，推广到广义约束逆下的Schur补上，得到了分块矩阵的三种运算在广义Schur补下的秩的性质。⑶利用Hermite矩阵迹的几个重要性质，结合广义Schur补的理论，对半正定Hermite矩阵在广义Schur补下迹的性质进行探究，得到了半正定Hermite矩阵在广义Schur补下的迹的不等式。