本文对周期边界条件下的经典和量子刘维尔-泊松方程进行了对比性的研究。我们采用的方法是傅立叶变换法，即对分布函数在速率空间作连续傅立叶变换，再对位置空间做傅立叶级数展开，从而将问题转化成超位置对应的非线性双曲方程。　　首先，我们讨论了数值方法。我们提出了一种沿特征线积分的数值积分子，证明该数值方程能严格保持整体粒子数和整体线性动量的守恒。该方法为显式格式，但时间步长不受CFL条件的限制，因而在高维情形能够同时达到较高的精度和非常高的效率。　　其次，我们从随机的角度讨论超位置满足的非线性双曲方程。我们可以利用分枝过程构建出非线性双曲模型在某个有限时间点T以及某个波数下的解，并且利用概率生成函数的思想给出解的存在性的证明。利用分枝过程，我们可以构建出相应的随机算法。　　鉴于经典和量子刘维尔方程被用于描述纳米尺度下金属或者半导体中的电子的等离子行为，我们对电子的朗道阻尼效应进行了数值研究。通过数值结果，我们可以看到，当量子效应比较明显时（即约化普朗克常数较大），量子等离子方程所呈现出的非线性远远低于经典等离子方程。我们对一维和二维的麦克斯韦分布，费米-狄拉克分布均作了研究，发现量子等离子体的自洽电场显现出更加显著的朗道阻尼效应。因此，利用经典等离子方程和费米-狄拉克分布得到的电子结构的半经典模型可能会低估某些电子的动理学效应。