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自从二十世纪六十年代V.G.Kac和R.V.Moody引入Kac-Moody代数以来,该代数的根系理论被广泛而深刻地研究,特别是有限型和仿射型的根系理论基本成熟,但对于不定型的根系研究尚不完善.本文讨论了不定型中一族不定型Kac-Moody代数的根系,它们的广义Cartan矩阵是An.首先研究了其中最简单的Kac-Moody代数(双曲型H5（6）)的根系.通过Wey1群作用相应的仿射型代数D4（1）的实根系,把H5（6）的实根系完全刻划出来.同时还研究了H5（6）的虚根集,包括对K的进一步描述,确定了几个高度较低的虚根的重数.并刻画的了g（A1）的实根集,最后将刻画g（A1）实根集的方法推广到了g（Ai）,i=2,3,4上。