【摘 要】
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流形优化在应用数学、统计学、工程、机器学习等领域有着广泛的应用.利用流形的拓扑结构和几何性质,可以将线性空间上的约束优化问题看做流形上的无约束优化问题;通过引入适当的黎曼度量,也可以将线性空间上的非凸优化问题转化为流形上的凸优化问题.许多实际应用中数据的自然结构常常建模为约束优化问题,其约束是黎曼流形.为此,人们一方面研究子流形的拼挤性质以简化数据的建模结构.另一方面研究黎曼流形上的优化理论继而构
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流形优化在应用数学、统计学、工程、机器学习等领域有着广泛的应用.利用流形的拓扑结构和几何性质,可以将线性空间上的约束优化问题看做流形上的无约束优化问题;通过引入适当的黎曼度量,也可以将线性空间上的非凸优化问题转化为流形上的凸优化问题.许多实际应用中数据的自然结构常常建模为约束优化问题,其约束是黎曼流形.为此,人们一方面研究子流形的拼挤性质以简化数据的建模结构.另一方面研究黎曼流形上的优化理论继而构建流形优化算法.本文利用活动标架法和Simons方法,给出了de Sitter空间中一类类空子流形的拼挤结果;并基于线性空间上的算法模型,给出了求解Hadamard流形上变分不等式问题和平衡问题的若干算法,主要内容如下:1.利用活动标架法和Simons方法,研究了指标为q的n+p维de Sitter空间中的n维类空子流形,这类子流形具有平行平均曲率向量.首先刻画了类空子流形的内蕴结构和几何特征,构造了类空子流形的正交标架场,推导了类空子流形的结构方程、Gauss方程、Codazzi方程、Ricci公式等张量表达式.接着给出了基于类空子流形的数量曲率、截面曲率和Ricci曲率等拼挤条件下的Simons型积分不等式,最后讨论并分析了类空子流形与一些结构简单的子流形或者超曲面的拼挤关系,如全脐子流形、全测地子流形,Clifford环面,Veronese曲面等.2.研究了 Hadamard流形上的变分不等式问题,给出了 6种投影算法,在向量场满足L-Lipschitz连续和伪单调条件下,对每个算法进行了收敛性分析.首先给出了两种基于外梯度模型的算法,算法的步长分别使用了 Armijo搜索方式和不依赖于Lipschitz常数的方式,不依赖于Lipschitz常数的步长是可变的,且与Lipschitz常数的取值没有关联,尤其适用于Lipschitz常数不能求解或者难于求解的情况.其次给出了两种基于次梯度外梯度模型的算法,算法的步长分别使用了不依赖于Lipschitz常数的范数形式和内积形式,并在数值实验中将这两种算法的性能进行了对比.最后给出了一种惯性次梯度外梯度算法,算法的步长使用了不依赖于Lipschitz常数的方式,然后在Lipschitz常数为已知的前提下,将算法的步长在一定条件下简化成了固定步长,并利用数值实验验证了这两种算法的效率.3.研究了 Hadamard流形上的平衡问题,给出了 3种新算法,算法的步长均使用了不依赖于Lipschitz型常数的方式.在双边函数伪单调且满足Lipschitz型条件的假设下,证明了由算法步长所产生的序列的单调有界性,分析了算法的收敛性,并用数值实验检验了算法的效率.首先给出了基于外梯度模型和黄金比模型的两种算法,相比较于外梯度算法,黄金比算法在每次迭代中只需要计算一个二次规划问题.其次对外梯度算法框架进行了改进,给出了一种新的求解平衡问题的类外梯度算法.最后讨论了类外梯度算法在变分不等式问题中的情形,得到了一种求解变分不等式问题的新算法.
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