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Kazhdan-Lusztig多项式是Kazhdan-Lusztig理论中一个非常核心的研究对象,当我们考虑Weyl群或者仿射Weyl群时,它们的Kazhdan-Lusztig多项式的系数在表示理论及李理论中有非常深刻的意义。Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数不仅可以帮助我们理解全部的Kazhdan-Lusztig多项式,而且,这些首项系数本身在李理论及表示理论中也非常有意义。近些年关于这方面的研究也越来越多。只是,由于首项系数的计算难度本质上讲并不比计算Kazhdan-Lusztig多项式Rv,w要容易,所以关于这方面的理论研究成果也非常有限。鉴于此,本学位论文主要对某些低秩的仿射Weyl群进行了以下研究工作:1.将Lusztig的半线性方程的方法运用到（?）型扩张的仿射Weyl群,从而得到了（?）型仿射Weyl群的某类c0×C2型首项系数,其中,C0,c2分别是它的两个不同的双边胞腔。从而,对（?）型仿射Weyl群Kazhdan-Lusztig多项式首项系数的计算进行了补充,由于计算量较大,文章中运用了计算机编程来进行辅助计算,具体程序将在附录中给出。此外,文章中还利用左、右string,及首项系数的其他性质得到几个相关推论。2.由于特异对合元在Kazhdan-Lusztig理论中具有重要的意义,它们和Coxeter群的胞腔分解理论以及Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数都有着密切联系。本文着重对（?）型仿射Weyl群进行讨论。具体刻画了 （?）型仿射Weyl群的双边胞腔分解和左胞腔分解。给出了 （?）型仿射Weyl群的左胞腔图及特异对合元图,并借助已知的某些Kazhdan-Lusztig多项式首项系数,通过定义直接计算,对特异对合元进行了验证。3.为了将Lusztig的半线性方程的方法推广到G型仿射Weyl群,我们给出了 （?）型仿射Weyl群的基本支配权在相应的扩张仿射Weyl群中所对应的群元素表示。其次,对（?）型仿射Weyl群的根格中的部分支配权Λr+进行分类。最后借助计算机编程计算出了在运用半线性方程方法中所需要的中间量Φ（λ）,λ∈Λ+,为进一步计算,得出（?）型仿射Weyl群的部分Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数奠定了基础。