拓扑和物理的结合是近几十年来物理学中蓬勃发展的一个新的领域,它不仅活跃在高能物理和量子场论等领域,也广泛地渗透进了凝聚态物理学之中,因此,拓扑物理已不仅仅局限于深刻的物理学原理之中,更确确实实地体现在了具体的材料和应用上。自从量子霍尔效应发现以来,凝聚态中的拓扑现象层出不穷,分数量子霍尔效应、拓扑绝缘体、拓扑超导体的发现极大地加深了我们对凝聚态的理解,而拓扑磁畴的发现和拓扑量子计算的提出,更直指未来在磁存储和量子计算机上的应用。因而这个方兴未艾的领域正在显示着它强大的生命力。本文通过对拓扑物理领域中拓扑绝缘体、拓扑磁畴,和拓扑自旋链相关性质的研究,以点及面地阐释如何将拓扑这个抽象的概念真实而又生动地体现在凝聚态物理学之中,并详细地介绍只有拓扑非平庸的物质才能体现出的新奇性质。在第一章绪论中,我们将简明地介绍拓扑的意义,及其在物理学,尤其是凝聚态物理学中的发展。在第二章中,我们将对拓扑绝缘体进行详细的介绍和讨论。在理解量子霍尔边界态的基础上,我们将介绍二维的自旋量子霍尔效应和三维的拓扑绝缘体。并提出由于三维拓扑绝缘体的拓扑磁电效应,拓扑绝缘体外的一个电荷将诱导出一个带电的磁单极子,即所谓的双荷子。观测到磁单极一直是物理学家的梦想,我们证明这个效应可以用磁力显微镜、超导量子干涉仪,和带电离子束的霍尔效应来观测。在第三章中,我们将讨论自旋体系的拓扑构型,即Skyrmion拓扑磁畴。在一类叫做手征磁体(Chiral Magnet)的材料中,实验学家发现了这类的拓扑磁畴。我们通过自旋CP1模型的研究,理解了二维Skyrmion磁畴的相图。之后,我们研究了这类体系的低能模式,即Skyrmion晶体振动的声子模,证明了正因为其独特的拓扑性质,声子模较之通常的晶体少了一半。之后我们详细地讨论了电流驱动的Skyrmion磁畴的运动,并发现了种种有趣的现象,诸如衍生的电磁场,Skyrmion的霍尔效应等等。这项领先的研究是将来Skyrmion应用为磁存储元件的基础。在第四章中,我们将讨论量子自旋链的拓扑性质。由于边界态在拓扑物理中的重要意义,我们将详细讨论自旋链的边界态,并尝试用边界态对自旋链进行拓扑分类。我们具体提出了一个S=2自旋链的量子模型,并通过密度矩阵重整化群的计算,证实了其中存在着一个被拓扑保护的量子相变。