【摘 要】
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在过去的几十年里,对于偏微分方程数值解的逼近,人们已经提出了各种各样的数值求解方法,如两网格方法,保结构数值方法等.这篇论文主要讨论了这些方法在某些偏微分方程中的应用.文章首先讨论了两网格有限体积元方法在非线性Sobolev方程中的应用,然后介绍了如何利用保结构方法,如离散变分导数方法及哈密尔顿边界值方法等构造保积分的数值方法.首先,我们针对非线性Sobolev方程提出了一类两网格有限体积元方法.
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在过去的几十年里,对于偏微分方程数值解的逼近,人们已经提出了各种各样的数值求解方法,如两网格方法,保结构数值方法等.这篇论文主要讨论了这些方法在某些偏微分方程中的应用.文章首先讨论了两网格有限体积元方法在非线性Sobolev方程中的应用,然后介绍了如何利用保结构方法,如离散变分导数方法及哈密尔顿边界值方法等构造保积分的数值方法.首先,我们针对非线性Sobolev方程提出了一类两网格有限体积元方法.该方法是一种基于一个粗网格空间及一个细网格空间的数值方法.我们首先在粗网格上以步长H进行非线性迭代得到原方程的一个近似解UH,然后在细网格上以步长h进行线性求解得到方程的数值解.我们对两网格有限体元方法作了H1范先验误差估计,当h=O（H3|ln H|）时,两网格有限体积元方法的收敛阶为O（H3|ln H|）理论结果表明两网格有限体积元方法相对标准有限体积元方法更为有效.其次,我们针对哈密尔顿偏微分方程提出了一类守恒有限体积元格式.该方法是一类基于离散变分导数方法及有限体积元方法的数值方法.在这一章,我们首先介绍了保能量格式及保动量格式的构造方法,然后对其守恒性及稳定性作了分析.数值实验表明保能量格式及保动量格式可以保证离散不变量的精确守恒.但是,保能量方法比保动量方法有更高的精度及更好的稳定性.最后,我们针对哈密尔顿偏微分方程提出了一类高精度保能量方法.该方法在空间和时间方向分别采用拟谱方法和哈密尔顿边界值方法.数值实验表明数值格式在空间可以达到谱精度,而在时间方向分别达到二阶和四阶精度.此外,该方法可以使离散质量和能量的守恒性达到机器精度.
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