众所周知，算术函数的均值估计问题在解析数论研究中占有十分重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关．因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用!著名的美籍罗马尼亚数学家Florentin Smarandache一生中引入了许多十分有趣数列和数论函数，并提出了许多的问题和猜想．他在1991年发表的《Only problems，not solutions!》一书中提出了105个关于数论函数和序列的问题和猜想，很多学者都在研究这些问题和猜想，并且有些已经得到了一些十分重要的结果。本文研究了一些数论函数函数的均值估计问题，以及一些和Smarandache未解决问题相关的方面，具体说来，本文的主要成果包括以下几方面：1．研究了一些新的数论函数的均值估计问题。本文研究了素因子最大指数序列e_p(n)的性质，并给出关于这个函数的混合均值估计，引入了两个新的数论函数P_d(n)和f(n)，并给出了关于这两个函数的均值，得到了一些较好的渐近公式。2．Smarandache函数S(n)在初等数论的研究中具有很重要的地位。本文利用初等方法研究了关于Smarandache函数的几个方程的可解性。3．研究了第二类Smarandache伪奇数数列和伪偶数数列的均值性质，并给出他们的一些非常有趣的渐近公式。4．对于无穷级数的研究是很有意义的。本文主要利用初等方法研究一些简单无穷级数的收敛性质，并给出了一些有趣的等式。