【摘 要】
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图论作为离散数学的一个分支,被广泛应用到计算机、生物、化学等自然学科,以及数据网络、物流交通、管理等众多实际应用问题当中。在图论的众多研究问题中,将一个较为复杂的图分解成边不相交或者点不相交的某些特殊子图,是结构图论中的一个重要研究内容——称之为边集的分解以及点集的覆盖问题。图的边染色问题是染色问题中一项重要的组成内容,相对于点染色等其他染色问题,边染色问题有很多亟待解决的猜想,例如Vizing提
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图论作为离散数学的一个分支,被广泛应用到计算机、生物、化学等自然学科,以及数据网络、物流交通、管理等众多实际应用问题当中。在图论的众多研究问题中,将一个较为复杂的图分解成边不相交或者点不相交的某些特殊子图,是结构图论中的一个重要研究内容——称之为边集的分解以及点集的覆盖问题。图的边染色问题是染色问题中一项重要的组成内容,相对于点染色等其他染色问题,边染色问题有很多亟待解决的猜想,例如Vizing提出的关于边临界图的独立数猜想等问题。本论文将针对某些特殊图的点集覆盖和填装问题以及边染色问题中关于边临界图的独立数问题以及2-因子问题进行如下研究:若一个图的顶点集可分解成由点不交的圈、K1和K2所构成的该图的生成子图,则称该生成子图为该图的一个弱圈分解（简称WCP）,其中K2表示由两个顶点构成的完全图;若图的一个弱圈分解中共含有k个元素,则称其为该图的k-弱圈分解（简称k-WCP）。胡智全教授和李皓教授两人共同证明了若一个阶数n至少为k+12的图G含有一个k-WCP,并且任意不相邻的两点的度数和至少为（2n+k-4）/3,则图G含有一个至多有一个元素与K2同构的k-WCP。受到上述结果的启发,本论文研究范类型-条件下上述特殊k-WCP的存在性,证明了若阶数n至少为k+12的图G含有一个k-WCP,且任意两个不相邻的顶点对x,y中最大度数至少为（2n+k-4）/6,则图G同样含有一个至多有一个元素与K2同构的k-WCP。本论文的结果为前述的胡智全教授和李皓教授两人获得的k-WCP存在性的结果的推广。Δ-临界图为边色数为Δ+1且满足其含有的任意真子图的边色数均小于该图的边色数的简单图,其中Δ表示图的最大度数。针对Δ-临界图,Vizing提出了两个著名猜想,2-因子猜想以及独立数猜想,即:任意Δ-临界图均含有2-因子;Δ-临界图的独立数不超过其阶数的一半。本论文利用Δ-临界图的Meredith拓展图,获得一般的Δ-临界图的独立数与最小度数为Δ-1的特殊的Δ-临界图的独立数之间的函数关系,进而可将研究Δ-临界图的独立数的问题转化为研究特殊的一类Δ-临界图,即最小度数为Δ-1的Δ-临界图的独立数问题;本论文还给出了最小度数为Δ-1的这类特殊Δ-临界图的独立数的上界;此外,本文利用Meredith拓展图以及二部图的结构性质得出了结论:一个Δ-临界图含有2-因子当且仅当对其任意一个顶点进行构造的Meredith扩展图含有2-因子。
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