【摘 要】
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Abel方程y’= p（x）y~2 +q（x）y~3是常微分方程中的一个重要课题,它与许多经典数学问题如希尔伯特第十六问题以及中心焦点问题有很深刻的联系。本文尝试使用一种新方法来研究Abel方程的Bautin矩指标（Moment Bautin Index）的计算。在本文中,我们的第一个主要结论是,给出definite多项式的Bautin矩指标的一个比较精确的下界,我们称之为拟Bautin矩指标（Q
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Abel方程y’= p（x）y~2 +q（x）y~3是常微分方程中的一个重要课题,它与许多经典数学问题如希尔伯特第十六问题以及中心焦点问题有很深刻的联系。本文尝试使用一种新方法来研究Abel方程的Bautin矩指标（Moment Bautin Index）的计算。在本文中,我们的第一个主要结论是,给出definite多项式的Bautin矩指标的一个比较精确的下界,我们称之为拟Bautin矩指标（Quasi Moment Bautin Index）。此指标的计算依赖于definite多项式的生成结构,并且在二次definite多项式的情形下拟Bautin矩指标恰等于Bautin矩指标本身。对于一般definite多项式的情形,我们将具体分析小于十次的多项式的生成情况,并对其进行分类,给出它们的拟Bautin矩指标的解析表达式。对这些典型结构,在给定合适的的端点参数及多项式q次数d不大的情形下,采用基于拟Bautin矩指标的数值算法计算其Bautin矩指标,并发现在这些情形下,这两者是一致的。我们可以证明以上数值计算的结果并不依赖于两个端点参数的选取,从而我们就得到了几类特定多项式在多项式q次数d不大的情形下的Bautin矩指标,这是我们的第二个主要结论。进而我们有理由猜想在一般情形下,Bautin矩指标是否就是拟Bautin矩指标。
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