随着泛函分析的方法和思想融入逼近论,各类形态不一、性质不同的算子给逼近工具提供了有力表述,算子逼近理论得以迅速发展,成为国内外函数逼近论研究的热点之一。本文以α-Bernstein算子为对象,重点研究Lipschitz函数类的α-Bernstein逼近。全文共四章,具体内容如下:首先,概述函数逼近论问题的起源和国内外发展现状。重点介绍算子逼近论中的经典方法:Bernstein算子逼近。主要包括Bernstein算子的定义、逼近性质,以及它与Lipschitz函数类的关系。第二章主要介绍了新近出现的一类广义Bernstein型算子,即α-Bernstein算子及其若干逼近性质。该算子在Bernstein算子的基础上引入一个可调的形状参数,不但包括了经典Bernstein算子,而且具有和Bernstein算子几乎一致的优良特性。同时,可调参数α的引入使得函数逼近方法更加灵活、有效。第三章是本文的主要工作。重点研究并证明了α-Bernstein算子与Lipschitz函数类之间的关系:α-Bernstein多项式与其逼近的函数同属Lipschitz函数类,且具有相同的Lipschitz常数。也即是说,若逼近函数属于Lipschitz函数类,那么对应的α-Bernstein算子也属于Lipschitz函数类;反之,若α-Bernstein多项式属于Lipschitz函数类,则其逼近的函数同样属于Lipschitz函数类。最后总结了全文,根据当前算子理论的发展热点,提出下一步的研究方向和内容,并分析了可行性。