设0＜ε＜1/(6log10)，x为模k的实本原Dirichlet特征，其中k＞e1/ε.对于L(s，x)，我们得到了如下的结果，即除了最多一个可能的特征外，L(1，x)＞min{1/7.703logk，30.417ε/kε}.详见第一章。　　设L=Q（Sn），其中正整数n(≠)2(mod4)，Sn为n次本原单位根。OL为L的代数整数环，则我们得到如下的结论:(1) n≡0(mod4)时，OL中必有元素不能写成OL中的元素的平方之和;(2)n≡1，or，3(mod4)时，OL中所有元素均可写成OL中4个元素的平方之和，特别，OL中所有元素均可写成OL中3个元素的平方之和当且仅当2在群(Z/nZ)(x)中的阶为偶数，详见第二章。　　考虑Diophantine方程x2-Dy2=-1，±2，其中D＞2为无平方因子的整数。本文利用奇性图刻画了上述方程是否有解的一些充分条件，并利用此方程得到了一批虚二次数域K=Q（√-D）的整数环的stufe问题和整数环的三平方和问题的初等判别条件，详见第三章。　　对于虚二次数域K=Q（√-D）的任一个代数整数α∈OK（K的代数整数环）。本文给出了α何时为OK中的三平方和的判别准则，是Z上的三平方和定理(Gauss-Legendre)在虚二次数域的整数环上的自然推广，并且也给出了Z上的四平方和定理(Lagrange)在虚二次数域的整数环上的自然推广。这两个基本问题主要是由徐飞完成的，详见第四章。