分离复势的奇性主部并进行解析延拓是求解断裂问题常用的解析方法之一。但该方法以及现有其他经典解析方法均难用于解决变换函数含有奇异性的问题。本文以椭圆孔板平面问题、抛物线裂缝的平面和反平面问题为研究对象，对分离复势奇性主部的方法进行改进，建立了能克服奇异变换函数引起的困难并能简化分析过程的一套方法。主要内容和创新点如下：　　针对残余应力问题，推导了直接用复势计算裂纹尖端应力强度因子的公式。　　提出了奇性主部过滤方法，并用于研究含椭圆孔板问题、抛物线裂缝的平面问题以及抛物线裂缝的反平面问题。通过保角变换，将抛物线裂缝外的区域映射到一个复平面的单位圆外。处理了抛物线裂缝问题的变换奇异性，导出了直接用复势计算抛物线裂缝尖端应力强度因子的公式，获得了抛物线裂缝齐次问题应力强度因子的封闭解。该解在抛物线形裂缝逼近于直线形裂缝的情况下可蜕化为直线裂缝的经典解。　　研究了含残余应力的抛物线裂缝平面问题和反平面问题，以及含残余应力准晶材料抛物线裂缝反平面问题。后一问题可转化为耦合声子场和相位子场的问题。得到了裂纹尖端应力强度因子的封闭解后，给出了相应的数值曲线图，并分析了裂纹尖端应力强度因子随各物理参数的变化规律。　　本文提出的奇性主部过滤方法和导出的直接用复势计算裂纹尖端应力强度因子的公式，可简化断裂问题的求解过程，并能用于分析复杂边界边值问题。本文建立的处理变换函数奇异性的方法，扩大了用复势求解边值问题封闭解的范围。