近年来,对复杂系统中非线性问题的研究已成为人们关注的热点.随着计算机技术的进步,对这些系统进行数值模拟也已经成为物理学研究的一个重要方面.该文从三方面对一些非线性波动问题进行了研究:1.非线性偏微分方程的精确求解非线性偏微分方程的各种解可以用来解释很多非线性现象,比如孤立子、呼吸子等.不同的解对应不同的波动模式.为了得到更多的新解,人们提出了很多方法对非线性偏微分方程进行解析求解,比如反散射方法、潘列维展开方法、齐次平衡法、F函数展开法等等.作者将这些方法应用于一系列非线性偏微分方程,包括高维方程、高阶方程、复方程以及方程组,得到了一些新解,其中包括周期解、孤波解、奇异解.作者也给出了一种扩展的F函数展开法,利用这种新方法,可以很方便的得到各种非线性偏微分方程的组合形式的Jacobi椭圆函数解及双曲函数解、三角函数解.2.使用多辛算法对非线性偏微分方程进行数值模拟冯康先生提出的辛算法,由于其在长时间计算下的保结构性质,已被广泛应用于对各种常微分方程以及哈密顿系统的数值模拟中.多辛算法是人们在此基础上又提出的一种可以很好的模拟非线性偏微分方程的保结构算法.在中科院计算数学所学习期间,作者使用多辛算法,对(2+1)维Sine-Gordon方程及其扭结型孤波解进行了数值模拟.3.对复杂介质中波传播的哈密顿描述及数值模拟通过地震波的反演建立复杂地质构造的清晰图像是地质勘探中的重要问题,而对地震波在一定模型中传播的正确模拟是反演结果是否能够真实地反映地层结构的关键.传统的模拟方法比如波动方程、元胞自动机、射线方法等在模拟复杂结构时均存在一些问题,比如焦散、强物性间断等.我们小组在与中科院地球所的合作中,给出了地震波在复杂介质中传播的哈密顿描述方法.这种方法建立在更能反映波动的物理学作用机制的哈密顿力学的基础上,同时利用辛算法对地震波在复杂介质中的传播进行了数值模拟.对边界的处理是计算物理中的一个经典问题,在我们的模拟过程中也遇到了这个问题.对此作者进行了一些尝试,并得到了较好的模拟结果.