【摘 要】
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拟线性Schr(?)dinger方程源自等离子物理,是非线性分析领域近年来受到广泛关注的问题.本文主要利用变分方法了研究一类带有Sobolev临界指数的拟线性Schr(?)dinger方程解的存
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拟线性Schr(?)dinger方程源自等离子物理,是非线性分析领域近年来受到广泛关注的问题.本文主要利用变分方法了研究一类带有Sobolev临界指数的拟线性Schr(?)dinger方程解的存在性.首先,我们介绍了拟线性Schr(?)dinger方程的背景和近期的研究进展.其次,我们在2维情形研究了 一类含有参数的临界拟线性Schr(?)dinger方程-Δu+V(x)u-καΔ(|u|2α)|u|2α-2=f(u),x∈R2,解的存在性,其中参数α ∈(1/2,1),κ ∈ R为常数,V(x)是给定的位势函数,f在无穷远处临界增长.利用变量替换,结合Trudinger-Moser不等式和山路定理我们证明了该问题在适当条件下至少存在一个非平凡解.最后,我们在高维情形(维数N≥3)研究了如下临界拟线性Schr(?)dinger方程的半经典问题-ε2Δu+V(x)u-καε2Δ(|u|2α)|u|2α-2=|u|q-2u+|u|2*-2u正解的存在性,其中0<ε(?)1,κ∈R为常数,q ∈(2,2*),2*=2N/N-2是Sobolev临界指数.在α∈(0,1/2)的情形,利用变量替换和截断方法,我们证明了正解的存在性.
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