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本文要论述的是近十几年来几何中的一个重要对象extremal度量.它是由E.Calabi[1]在1982年引入的，实际上是紧致无边的复流形上固定的Kahler等价类下的某个能量泛函E的临界点.这和几何学历史上其它对象的引入有相似之处，比如极小曲面，Hodge的调和形式等等.它有很多有意思的几何性质，在同一个Kahler等价类中不可能同时出现数量曲率为常数的度量及extremal但是数量曲率不为常数的度量.简单地说，具有extremal度量的紧Kahler流形比一般的Kahler流形具有更好的对称性.而且在光滑的紧黎曼面上，extremal度量与常数量曲率度量等价。
本文的目的是想从紧黎曼面做起，研究紧黎曼面上有奇点的extremal度量的性质.本文所要讨论的HCMU度量，就是有奇点的extremal度量中除了常数量曲率度量外最简单的一种.我们将利用对HCMU度量的研究导出它的面积和能量公式.本文介绍没有奇点的extremal度量的定义.HCMU度量的定义，存在的必要条件及一些重要性质.介绍HCMU度量的内部结构，组成单元和存在性以及它的面积和能量公式.介绍无奇点extremal度量的二阶变分的性质和HCMU度量二阶变分的性质.