复变函数分析在各向异性力学中发挥着重要的作用,无论对于各向同性还是各向异性介质,复变函数通常可以得到简洁的数学表达式作为形式解,但是对于具体问题,需要用有限元法或边界元法等数值方法才能更好地加以处理,因而发展基于复变函数的边界元法是十分紧迫而且必要的。本文就是在传统的二维位势问题边界元法的基础上对复变函数加以研究。在文中,首先在离散的边界元空间中应用单元分组的方式将单元组上的插值函数进行光滑化处理,接着给出了边界上高精度方向导数的边界元法,即在边界上建立一个可随节点移动的ζ_i-η_i坐标系,在这个坐标系下使用二元函数Taylor公式展开,主要采用非均匀不等距的二维网格,给出了求解切向方向导数一种新的差分法。在差分格式的形成过程中与一般有限差分法不同,并没有对整个求解域进行离散处理,而只是在边界上选取离散节点进行展开。最后,由算例表明该计算方法精度高。随后,本文给出了用于解析函数的共轭边界元法,即将一个解析函数等价为域内两个共轭的实调和函数并且这两个调和函数在边界上满足柯西-黎曼条件。用加权残数理论获得了关于共轭调和函数的边界积分方程组,使用离散的边界单元转化为两个线性方程组。而对于边界上的柯西-黎曼条件,则应用边界上高精度切向方向导数差分法转化为一个线性方程组,这个方程组作为前两个方程组的约束方程被应用。并解决了所建立的大型弱病态线性方程组获得共轭调和函数的近似解,运用柯西积分公式回代解决内点问题。最后,算例验证了该计算方法的有效性。