随着人类对客观世界探索的不断深入，我们所接触到的信号越来越复杂，信息量也越来越大。传统的采样方式受奈奎斯特采样定理的限制，对采样数量要求很高，但由于客观环境的影响，实际所采用的设备往往不能获得足够多的采样点数。例如，在地震勘探中，受地形或其他因素的影响，得到的地震勘探数据往往是不完整的;在核磁共振成像过程中，由于被测目标是人体器官，不能长时间保持静止，也需要尽量地减少采样次数。因此，需要在传统采样方式的基础上，降低信号重建方法对采样数量的要求，从而实现从不完整的数据中恢复原始信号的目标。　　压缩感知是对不完整测量数据进行重建的一种新的信号处理理论，具有广阔的发展前景。实际上，自然界的信号在合适的变换矩阵下大部分都是稀疏的，压缩感知理论就是利用被测信号的稀疏性，以远低于奈奎斯特采样率的不完整测量得到精确的重建结果。该理论主要分为两部分:被测数据的采样过程和数据的恢复过程。其中，数据的恢复过程，即压缩感知理论中的恢复算法部分是本文研究的主要内容。　　另外，近年来四元数(Quaternion)或超复数(Hypercomplex)代数理论及其信号与图像处理的应用也吸引了众多学者的关注。本文我们会对四元数代数理论做出介绍，另外，我们提出了两种基于压缩感知理论的一维四元数信号恢复的方法，即间接恢复法与直接恢复法。间接法主要是通过对与四元数信号等价的实数矩阵处理进而达到对四元数处理的目的，其优势在于能够更好地利用关于实信号处理的一些方法;直接法顾名思义则是将待处理信号直接表达，然后借助于凸优化理论对目标信号泛函处理，本文中我们会详细的阐述。　　值得注意的是，矩阵填充也是压缩感知理论在二维信号处理中问题的扩展，该问题也受到了广泛学者的关注并被应用于信号与图像处理领域，本文将对矩阵填充问题的背景与现存的一些情况进行必要的介绍。现有大多数矩阵填充方法是通过核范数最小化来实现低秩优化达到填充的目的，本文我们提出了一种新的低采样率下彩色图像恢复方法，即解决了四元数核范数最小化问题。另外，我们将矩阵填充与局部流形算子相结合提出了一种新的矩阵填充方法以便解决现实图片的恢复问题，并与其它方法进行对比。